I. megoldás. Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás, vagyis minden $1\le i\le n$ esetén található az adott halmazok között egy $A_i$ és egy $B_i$ halmaz úgy, hogy $i\notin A_i$, de $B_i=A_i\cup \left\{i\right\}$. Tekintsük az adott halmazokat egy gráf csúcsainak, amelyben minden $i$-re az $A_i$ és $B_i$ halmazokat összekötöttük egy $e_i$ éllel. Ennek az $n$ szögpontú, nyilván egyszerű gráfnak pontosan $n$ éle van, tehát található benne egy kör, vagyis adott halmazoknak egy olyan $H_1\mathrm{,}{H}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{H}_k$ sorozata, ahol $k\ge 3$, és ‐ az indexekkel modulo $k$ számolva ‐ minden $i$-re $H_i$ és $H_{i+1}$ között halad egy él. A kör irányítását megfelelően választva feltehetjük, hogy $H_1=A_j$, $H_2=B_j$ valamely $1\le j\le n$ esetén. Ekkor a $j$ szám nem eleme a $H_1$ halmaznak, de eleme $H_2$-nek. Mivel $i\ne 1$ esetén $H_i$ és $H_{i+1}$ között már nem az $e_j$ él vezet, ebből $j\in H_3$, majd ugyanígy $j\in H_4\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}j\in H_k$, végül ($k\ge 3$ miatt) $j\in H_1$ adódik. Ez az ellentmondás az állítás igazát bizonyítja.