Kezdőlap


Feladat:	B.4148	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2010/január, 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/január: B.4148

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $x y = a$ , $x^{2} + y^{2} = b$ helyettesítéssel az egyenletek $a b = 10$ , $b^{2} - 2 a^{2} = 17$ alakban írhatók. Az $a$ értékét az első egyenletből kifejezve, majd azt a második egyenletbe helyettesítve

\begin{matrix} b^{2} - 2 {(10 / b)}^{2} - 17 = 0, azaz b^{4} - 17 b^{2} - 200 = 0 \end{matrix}

adódik. A másodfokú egyenletet

b^{2}

-re megoldva kapjuk, hogy

b^{2} = 25

, a másik gyök ugyanis negatív. Mivel

b \geq 0

, innen

b = 5

a = 2

adódik. Ebből kiindulva kapjuk, hogy

{(x + y)}^{2} = (x^{2} + y^{2}) + 2 x y = b + 2 a = 9

\begin{matrix} {(x - y)}^{2} = (x^{2} + y^{2}) - 2 x y = b - 2 a = 1, \end{matrix}

vagyis

x + y = \pm 3

x - y = \pm 1

. A négy előjelkombinációnak megfelelően négy lehetőséghez jutunk:

\begin{matrix} x_{1} = 2, y_{1} = 1; x_{2} = 1, y_{2} = 2; x_{3} = - 1, y_{3} = - 2; x_{4} = - 2, y_{4} = - 1. \end{matrix}

Az egyenletrendszert mind a négy számpár kielégíti.