Kezdőlap


Feladat:	B.4146	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2010/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletek, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/január: B.4146

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tegyük föl, a feladat állításával ellentétben, hogy léteznek olyan $x = \frac{X}{Z}$ , $y = \frac{Y}{Z}$ racionális számok (közös nevezőre hozva), amelyekre

\begin{matrix} 5 {(\frac{X}{Z})}^{2} + 3 {(\frac{Y}{Z})}^{2} = 1, azaz 5 X^{2} + 3 Y^{2} = Z^{2} . \end{matrix}

Itt értelemszerűen

X

Y

és

Z

egész számok,

Z \neq 0

. A továbbiakban azt mutatjuk meg, hogy ez utóbbi egyenletnek az egész számok körében egyetlen megoldása van, éspedig

X = Y = Z = 0

. Tegyük föl, hogy léteznek nem csupa nullából álló egész megoldások, és jelöljön ezek közül

X_{0}

Y_{0}

Z_{0}

egy olyat, amelyre az

| X_{0} |

| Y_{0} |

| Z_{0} |

számok legnagyobbika a lehető legkisebb.
A

2 X_{0}^{2} + 3 (X_{0}^{2} + Y_{0}^{2}) = Z_{0}^{2}

csoportosítás alapján világos, hogy

2 X_{0}^{2}

és

Z_{0}^{2}

ugyanazt a maradékot adja a 3-mal való maradékos osztásnál. Mivel négyzetszám 3-mal osztva

0

-t vagy

1

-et adhat maradékul, a bal oldal osztási maradéka

0

vagy

2

, a jobb oldalé

0

vagy

1

lehet; az egyenlőség tehát csak akkor lehetséges, ha

X_{0}

és

Z_{0}

is osztható 3-mal. Ekkor

X_{0} = 3 X_{1}

és

Z_{0} = 3 Z_{1}

, alkalmas

X_{1}

és

Z_{1}

egészekkel. Így

\begin{matrix} 3 Y_{0}^{2} = Z_{0}^{2} - 5 X_{0}^{2} = 9 (Z_{1}^{2} - 5 X_{1}^{2}) \end{matrix}

szerint

Y_{0}^{2}

, és így

Y_{0}

is osztható 3-mal: alkalmas

Y_{1}

egésszel

Y_{0} = 3 Y_{1}

. Ezeket az eredeti egyenletbe helyettesítve az

\begin{matrix} 5 \cdot 9 \cdot X_{1}^{2} + 3 \cdot 9 \cdot Y_{1}^{2} = 9 \cdot Z_{1}^{2}, vagyis 5 X_{1}^{2} + 3 Y_{1}^{2} = Z_{1}^{2} \end{matrix}

összefüggéshez jutunk. Ellentmondást kaptunk, hiszen az

| X_{1} |

| Y_{1} |

| Z_{1} |

számok legnagyobbika a harmadrésze az

| X_{0} |

| Y_{0} |

| Z_{0} |

számok legnagyobbikának, ezért ‐ nem nulla lévén ‐ kisebb annál.