Feladat: B.4130 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Bodor Bertalan ,  Éles András ,  Frankl Nóra ,  Kispéter Tamás ,  Nagy Donát ,  Weisz Ágoston 
Füzet: 2010/január, 19 - 21. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkbeli ponthalmazok távolsága, Halmazalgebra, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/november: B.4130

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenest azonosítsuk a valós számegyenessel, egy tetszőleges s szakasz átrendezés utáni képét jelölje s', a véges sok szakaszból álló S szakaszrendszer átrendezésével kapott új rendszer ennek megfelelően legyen S', végül jelölje t(S) az S-et alkotó szakaszok U(S) uniójának összhosszát. Elegendő az állítást olyan S szakaszrendszerek esetén bizonyítani, amelyekre U(S) összefüggő. Valóban, ha S=S1S2...Sk, ahol U(S1),U(S2),...,U(Sk) páronként diszjunkt szakaszok, akkor az összefüggő esetre érvényes állítás alapján

t(S)=t(S1)+t(S2)+...+t(Sk)t(S1')+t(S2')+...+t(Sk')t(S')
már következik, hiszen szakaszok uniójának összhossza legfeljebb a szakaszok hosszának az összege lehet.
Feltehető tehát, hogy U(S)=[a,b]. Azt kell igazolnunk, hogy t(S')t([a,b])=b-a. Az U(S') legkisebb és legnagyobb elemét jelölje rendre a', illetve b'. Mivel t(S')t([a',b'])=b'-a', elegendő azt megmutatni, hogy b'-a'b-a. Legyen sS egy olyan szakasz, amelyre s' baloldali végpontja a', hasonlóan uS pedig egy olyan szakasz, amelyre u' jobb oldali végpontja b'. Ha s=u, akkor U(S')=s', és sU(S) miatt az állítás nyilvánvaló, hiszen s' egybevágó s-sel. Feltehetjük tehát, hogy su, és legyen [c,d] a legrövidebb intervallum, amely tartalmazza az s és u szakaszok egyesítését. Ekkor acdb, vagyis elegendő azt megmutatni, hogy b'-a'd-c. Vegyük észre, hogy ez lényegében az eredeti feladat állításának az a speciális esete, amikor S-et csupán két szakasz (s és u) alkotja. Pontosabban:
 

Ha egy egyenesen az s és u szakaszokat úgy rendezzük át, hogy középpontjaik távolsága nem nő, akkor uniójuk konvex burkának a hossza sem nő.
 

Jelölje s és u hosszát α, illetve β, középpontjaik távolságát pedig ϱ. Ha a szakaszokat tükrözzük a középpontjaik alkotta szakasz felezőpontjára, akkor a fenti mennyiségek egyike sem változik meg; ezért feltehetjük, hogy az s bal oldali végpontja c.
1. eset: Ha u nem része s-nek, akkor u jobb oldali végpontja d. Jelölje az s jobb oldali végpontját y, az u bal oldali végpontját x. Ekkor α=y-c, β=d-x, ezért d-c=(d-x)+(x-y)+(y-c)=(α+β)+(x-y), azaz x-y=d-c-(α+β); így
ϱ=|x+d2-c+y2|=12|(α+β)+2(x-y)|==|α+β2+(x-y)|=|(d-c)-α+β2|.
Mivel d-c legalább akkora, mint akár α vagy β, azért ϱ=(d-c)-α+β2, tehát
d-c=ϱ+α+β2.
Ekkor nyilván a pozitív x-c és d-y számok összege legalább akkora, mint különbségük abszolút értéke, azaz
(x-c)+(d-y)|(x-c)-(d-y)|,
így
2ϱ=(x+d)-(c+y)|(y-c)-(d-x)|=|α-β|.

2. eset: Ha u része s-nek, akkor s maga a [c,d] intervallum, az u bal, illetve jobb oldali végpontja legyen x és y; ekkor
d-c=α=max{α,β},
és nyilván, az előbbi esethez hasonló okból
(d-y)-(x-c)(d-y)+(x-c),
azaz
2ϱ=(d+c)-(x+y)(d-c)-(y-x)=α-β=|α-β|.
A két eset összefoglalásaként tehát elmondhatjuk, hogy általában
d-c={ϱ+α+β2,ha  |α-β|2ϱ,max{α,β},ha  |α-β|2ϱ.
Tehát f(ϱ)=d-c a ϱ mennyiségnek monoton növő függvénye. Ezért, ha az s' és u' szakaszok középpontjának távolsága ϱ'<ϱ, akkor b'-a'=f(ϱ')f(ϱ)=d-c.