A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Az egyenest azonosítsuk a valós számegyenessel, egy tetszőleges szakasz átrendezés utáni képét jelölje , a véges sok szakaszból álló szakaszrendszer átrendezésével kapott új rendszer ennek megfelelően legyen , végül jelölje az -et alkotó szakaszok uniójának összhosszát. Elegendő az állítást olyan szakaszrendszerek esetén bizonyítani, amelyekre összefüggő. Valóban, ha , ahol páronként diszjunkt szakaszok, akkor az összefüggő esetre érvényes állítás alapján | | már következik, hiszen szakaszok uniójának összhossza legfeljebb a szakaszok hosszának az összege lehet. Feltehető tehát, hogy . Azt kell igazolnunk, hogy . Az legkisebb és legnagyobb elemét jelölje rendre , illetve . Mivel , elegendő azt megmutatni, hogy . Legyen egy olyan szakasz, amelyre baloldali végpontja , hasonlóan pedig egy olyan szakasz, amelyre jobb oldali végpontja . Ha , akkor , és miatt az állítás nyilvánvaló, hiszen egybevágó -sel. Feltehetjük tehát, hogy , és legyen a legrövidebb intervallum, amely tartalmazza az és szakaszok egyesítését. Ekkor , vagyis elegendő azt megmutatni, hogy . Vegyük észre, hogy ez lényegében az eredeti feladat állításának az a speciális esete, amikor -et csupán két szakasz ( és ) alkotja. Pontosabban:
Ha egy egyenesen az és szakaszokat úgy rendezzük át, hogy középpontjaik távolsága nem nő, akkor uniójuk konvex burkának a hossza sem nő. Jelölje és hosszát , illetve , középpontjaik távolságát pedig . Ha a szakaszokat tükrözzük a középpontjaik alkotta szakasz felezőpontjára, akkor a fenti mennyiségek egyike sem változik meg; ezért feltehetjük, hogy az bal oldali végpontja . 1. eset: Ha nem része -nek, akkor jobb oldali végpontja . Jelölje az jobb oldali végpontját , az bal oldali végpontját . Ekkor , , ezért , azaz ; így
Mivel legalább akkora, mint akár vagy , azért , tehát Ekkor nyilván a pozitív és számok összege legalább akkora, mint különbségük abszolút értéke, azaz | | így | |
2. eset: Ha része -nek, akkor maga a intervallum, az bal, illetve jobb oldali végpontja legyen és ; ekkor és nyilván, az előbbi esethez hasonló okból azaz | | A két eset összefoglalásaként tehát elmondhatjuk, hogy általában | | Tehát a mennyiségnek monoton növő függvénye. Ezért, ha az és szakaszok középpontjának távolsága , akkor . |