Kezdőlap


Feladat:	B.4124	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Frankl Nóra
Füzet:	2010/január, 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetgyök közelítő meghatározása, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/november: B.4124

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Kerekítésre akkor van szükség, ha egy $k$ egész szám négyzetgyöke szigorúan $n$ és $n + 1$ közé esik (ahol $n$ pozitív egész), azaz

\begin{matrix} n < \sqrt[]{k} < n + 1. \end{matrix}

Négyzetre emeléssel ez pontosan azt jelenti, hogy

\begin{matrix} n^{2} < k < {(n + 1)}^{2} = n^{2} + 2 n + 1, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} n^{2} + 1 \leq k \leq {(n + 1)}^{2} - 1 = n^{2} + 2 n . \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} n^{2} + n < {(n + \frac{1}{2})}^{2} = n^{2} + n + \frac{1}{4} < n^{2} + n + 1, \end{matrix}

\sqrt[]{k}

szám értékét

n^{2} + 1 \leq k \leq n^{2} + n

esetén lefelé,

n^{2} + n + 1 \leq k \leq n^{2} + 2 n

esetén pedig felfelé kell kerekíteni, vagyis lefelé és felfelé is pontosan

\begin{matrix} (n^{2} + n) - (n^{2} + 1 - 1) = n = (n^{2} + 2 n) - (n^{2} + n + 1 - 1) \end{matrix}

esetben kerekítünk.
Ezért

32^{2} = 1024 < k < 10 000 = 100^{2}

esetén pontosan ugyanannyiszor fogunk felfelé kerekíteni, mint lefelé, illetve a négyzetszámok esetében nincs kerekítés. Ha viszont

31, 5^{2} = 992, 25 < 1000 \leq k < 1024 = 32^{2}

, akkor

\sqrt[]{k}

értékét felfelé kell kerekíteni. Ebből látható, hogy pontosan 24-gyel több alkalommal kerekítettünk felfelé, mint lefelé.