Kezdőlap


Feladat:	B.4043	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Prok Tamás
Füzet:	2010/január, 16 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/december: B.4043

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen $x' = x + 1$ . A kifejezéshez az

\begin{matrix} S = \frac{1}{a'} + \frac{1}{b'} + \frac{1}{c'} + \frac{1}{d'} \end{matrix}

mennyiséget hozzádva egész számot (4-et) kapunk. Szükséges és elégséges feltétel tehát, hogy az 1-nél nagyobb, páronként különböző

a'

b'

c'

d'

egész számokra

S

értéke is egész legyen. Mivel

\begin{matrix} S \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} < 2, \end{matrix}

ez csak úgy lehet, ha

S = 1

. Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy

a' < b' < c' < d'

. Ha

a' \geq 3

, akkor

S \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} < 1

, ezért szükségképpen

a' = 2

\begin{matrix} S' = \frac{1}{b'} + \frac{1}{c'} + \frac{1}{d'} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

b' \geq 6

lenne, akkor

S \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} < 1

lenne, ezért

3 \leq b' \leq 5

. A

b' = 5

esetet könnyen kizárhatjuk, ekkor ugyanis

c' \geq 6

. Ha

c' = 6

lenne, akkor

\begin{matrix} \frac{1}{d'} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{2}{15} \end{matrix}

lenne, ami nem lehetséges. Ha pedig

c' \geq 7

, akkor

d' \geq 8

, és így

S' < 1 / 2

.
A

b' = 4

esetben

\begin{matrix} \frac{1}{c'} + \frac{1}{d'} = \frac{1}{4}, \end{matrix}

vagyis

c' d' = 4 c' + 4 d'

, és így

(c' - 4) (d' - 4) = 16

. Mivel

1 \leq c' - 4 < d' - 4

egész számok, ez csak úgy lehetséges, ha

c' - 4 = 1

és

d' - 4 = 16

, vagy

c' - 4 = 2

d' - 4 = 8

. Az első esetben

c' = 5

és

d' = 20

, a másodikban

c' = 6

és

d' = 12

. A

b' = 3

esetben hasonló gondolatmenettel

\frac{1}{c'} + \frac{1}{d'} = \frac{1}{6}

alapján

(c' - 6) (d' - 6) = 36

adódik, ahol

- 2 \leq c' - 6 < d' - 6

. Innen a

(c' - 6; d' - 6)

számpár lehetséges értékeire

(1; 36)

(2; 18)

(3; 12)

és

(4; 9)

adódik, vagyis ebben az esetben a

(c'; d')

számpár

(7; 42)

(8; 24)

(9; 18)

, illetve

(10; 15)

lehet.
A feltételt tehát 6 különböző

a' < b' < c' < d'

számnégyes elégíti ki. Ennek megfelelően a feladatnak

6 \cdot 4! = 144

különböző megoldása van, melyeket az

(1; 3; 4; 19)

, az

(1; 3; 5; 11)

, az

(1; 2; 6; 41)

, az

(1; 2; 7; 23)

, az

(1; 2; 8; 17)

, illetve az

(1; 2; 9; 14)

számnégyesek összes lehetséges permutációjával kaphatunk meg.