Kezdőlap


Feladat:	C.979	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zsiborás Gábor
Füzet:	2010/január, 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Gömb és részei, Kör geometriája, Hossz, kerület, Terület, felszín
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/február: C.979

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a labdának megfelelő gömb sugarát $R$ , a középpontját $O$ . A pöttynek megfelelő gömbsüveg alapkörének sugara $ϱ$ , középpontja $K$ és a gömbsüveg magassága $m$ .
A gömb és a gömbsüveg alapkörének sugara közvetlenül kiszámítható a megadott adatokból:

\begin{matrix} R = \frac{54}{2 π} \approx 8, 59; ϱ = \frac{11}{2 π} \approx 1, 75. \end{matrix}

Tekintsünk egy pöttyöt (gömbsüveget) a gömbön. A gömbsüveg alapkörének két átellenes pontja a gömbön

A

és

B

.
Messük el a gömböt egy az

A

-n,

B

-n és a gömb

O

középpontján átmenő síkkal. Ez a sík egy főkörben metszi a gömböt. Az

O K

egyenes és a gömb metszéspontja

C

O C = O B = R

K B = ϱ

K C = m

O K = R - m

. Az

O K B

derékszögű háromszögre írjuk fel a Pitagorasz-tételt:

R^{2} - ϱ^{2} = {(R - m)}^{2}

, ahonnan:

\begin{matrix} R - m = \sqrt[]{R^{2} - ϱ^{2}} \approx 8, 41. \end{matrix}

Innen

m = 0, 18

.
Számítsuk ki a gömb és a gömbsüveg felszínét. A gömb felszíne:

4 π R^{2} = 4 π \cdot 8, 59^{2}

. A gömbsüveg felszíne:

2 π R m = 2 π \cdot 8, 59 \cdot 0, 18 \approx 9, 72

. A keresett arány:

\begin{matrix} \frac{30 \cdot 9, 72}{927, 25} \cdot 100 \approx 31, 45 % . \end{matrix}