Kezdőlap


Feladat:	C.977	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Molnár Gabriella
Füzet:	2010/január, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Mértani sorozat, Százalékszámítás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/február: C.977

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az első év végén $12 \cdot 1, 08 - 1, 2$ millió forint lesz a tartozás; a második év végén $(12 \cdot 1, 08 - 1, 2) \cdot 1, 08 - 1, 2$ és így tovább. A 10. év végén a tartozás (milló forintban):

\begin{matrix} x & = (((12 \cdot 1, 08 - 1, 2) \cdot 1, 08 - 1, 2) \cdot 1, 08 ...) \cdot 1, 08 - 1, 2 = \\ = 12 \cdot 1, 08^{10} - 1, 2 \cdot (1 + 1, 08 + 1, 08^{2} + ... + 1, 08^{9}) . \end{matrix}

A zárójelben egy mértani sorozat első 10 tagja áll, a sorozat hányadosa 1,08. Az ismert összegezési képlet felhasználásával kapjuk:

\begin{matrix} x = 12 \cdot 1, 08^{10} - 1, 2 \cdot \frac{1, 08^{10} - 1}{1, 08 - 1}, \end{matrix}

ahonnan

x \approx 8, 523 225

.
Vagyis a 10. év végén a vállalkozó tartozása 8 523 225 Ft.