Kezdőlap


Feladat:	C.976	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Besnyő Réka
Füzet:	2010/január, 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, ( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 ), Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Nevezetes egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/február: C.976

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a három pozitív szám $a$ , $b$ és $c$ . Ekkor:

\begin{matrix} (a + b + c) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) & = 1 + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + 1 + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + 1 = \\ = 3 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} . \end{matrix}

Mivel

a

b

c

pozitív számok, így

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2

\frac{a}{c} + \frac{c}{a} \geq 2

és

\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \geq 2

, ezért

\begin{matrix} 3 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \geq 3 + 2 + 2 + 2 = 9. \end{matrix}

Tehát biztos, hogy a kifejezés értéke legalább 9. A 9-et fel is veszi

a = b = c = 1

esetén.
Megmutatjuk, hogy tetszőleges nagy lehet az értéke, azaz felülről nem korlátos.
Legyen

K

a 9-nél nagyobb szám. Igazoljuk, hogy alkalmas

a

b

c

esetén

\begin{matrix} (a + b + c) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) > K . \end{matrix}

Legyen pl.

a = \frac{K}{2}

b = \frac{K}{2}

c = 1

, ekkor:

\begin{matrix} (\frac{K}{2} + \frac{K}{2} + 1) (\frac{2}{K} + \frac{2}{K} + 1) > (\frac{K}{2} + \frac{K}{2} + 1) \cdot 1 = K + 1 > K . \end{matrix}

Mivel

K

tetszőlegesen nagy lehet, a keresett legszűkebb intervallum:

[9; \infty [