Kezdőlap


Feladat:	C.970	Korcsoport: -	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Karádi Dániel Tamás
Füzet:	2010/január, 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Szöveges feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/január: C.970

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az első esetben Rózsa $11 a$ , Ibolya $7 b$ , Viola $9 c$ feladatot old meg naponta; így 5 nap alatt $5 (11 a + 7 b + 9 c)$ feladat megoldásával készültek el. Míg a második esetben $16 (4 a + 2 b + 3 c)$ a megoldott feladatok száma. De mindkét esetben az összes feladatot megoldották, ezért

\begin{matrix} 5 (11 a + 7 b + 9 c) = 16 (4 a + 2 b + 3 c) . \end{matrix}

Innen rendezés után kapjuk, hogy

b = 3 a + c

.
Ha

x

nap alatt készülnek el a megoldásokkal, akkor felírhatjuk a következő egyenletet:

\begin{matrix} 5 (11 a + 7 b + 9 c) = x (a + b + c) . \end{matrix}

Behelyettesítve a

b

-re előbb kapott egyenlőséget és rendezve a következő egyenletet kapjuk:

160 a + 80 c = 4 x a + 2 x c

. Osszuk végig az egyenletet a

4 a + 2 c \neq 0

kifejezéssel: az

x = 40

értékhez jutunk. Tehát az összes feladat megoldásához 40 napra lesz szükség.
Ez lehetséges, ha pl.

a = c = 1

b = 4

és a feladatok száma:

5 (11 + 7 \cdot 4 + 9) = 240

II. megoldás. Legyen a megoldandó feladatok száma

n

. Ekkor

\begin{matrix} 5 (11 a + 7 b + 9 c) = n és 16 (4 a + 2 b + 3 c) = n . \end{matrix}

Az első esetben

\frac{n}{5}

, a második esetben

\frac{n}{16}

feladat került 1 nap alatt megoldásra.

\begin{matrix} 11 a + 7 b + 9 c = \frac{n}{5}, 4 a + 2 b + 3 c = \frac{n}{16} . \end{matrix}

Az első egyenletből a második kétszeresét levonva kapjuk, hogy

\begin{matrix} 3 (a + b + c) = \frac{n}{5} - \frac{n}{8} = \frac{3 n}{40}, \end{matrix}

vagyis

a + b + c = \frac{n}{40}

az 1 nap alatt megoldott feladatok száma. Az összes feladat megoldásához tehát 40 nap szükséges.