Kezdőlap


Feladat:	4173. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Maknics András
Füzet:	2009/december, 565 - 566. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Rugalmatlan ütközések, Gerjesztés ütköztetéssel (Franck--Hertz-kísérlet), Balmer-formula (Balmer-sorozat)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/május: 4173. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az elektron tömege mintegy 2000-szer kisebb, mint a proton tömege, ezért jogos közelítés az, hogy a hidrogénatomot és a bombázó protonokat egyaránt $m_{h} = m_{p} = m = 1, 673 \cdot 10^{- 27}$ kg tömegű részecskének tekintsük.
Az ütközés előtt $v_{0} = 10^{5}$ m/s sebességű proton mozgási energiája

\begin{matrix} E_{0, p} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = 8, 37 \cdot 10^{- 18} J = 8, 37 aJ . \end{matrix}

(A proton sebessége elhanyagolhatóan kicsi a fénysebesség mellett, emiatt jogos a ,,klasszikus'', nemrelativisztikus mozgási energia képletének használata.)
A hidrogénatom

n

-edik gerjesztési szintjének energiája a Balmer-formula szerint:

\begin{matrix} E_{n} = \frac{E_{0}}{{(n + 1)}^{2}}, \end{matrix}

ahol

E_{0} = - 2, 2 aJ

az alapállapot energiája. Ennek megfelelően a negyedik gerjesztett állapot és az alapállapot energiakülönbsége:

\begin{matrix} Δ E_{0 \to 4} = E_{4} - E_{0} = \frac{E_{0}}{5^{2}} - E_{0} = - \frac{24}{25} E_{0} = + 2, 11 aJ . \end{matrix}

A két részecskéből (a protonból és a hidrogénatomból) álló rendszer közös tömegközéppontja

\begin{matrix} v_{tkp} = \frac{m_{p} v_{0}}{m_{p} + m_{h}} \approx \frac{m v_{0}}{2 m} = \frac{v_{0}}{2} = 5 \cdot 10^{4} \frac{m}{s} \end{matrix}

sebességgel mozog a laboratóriumhoz képest.
Vizsgáljuk az ütközést a tömegközépponti (vagyis a tömegközépponttal együtt mozgó) koordináta-rendszerből! Ebből a rendszerből nézve mindkét részecske

v' = v_{tkp}

nagyságú sebességgel közeledik a közös tömegközéppont felé, mindkettőjük mozgási energiája

\begin{matrix} E' = \frac{1}{2} m v'^{2} = 2, 09 aJ, \end{matrix}

a rendszer összenergiája pedig

E_{összes} = 2 E' = 4, 18 aJ

.
Az ütközés során a rendszer teljes lendülete változatlan (nulla) marad, így az egyforma tömegű részecskék ugyanakkora

v''

sebességgel lökődnek szét, a mozgási energiák összege pedig a gerjesztésnek megfelelő

Δ E_{0 \to 4}

értékkel lecsökken:

\begin{matrix} E'' = \frac{1}{2} m v''^{2} + \frac{1}{2} m v''^{2} = E_{összes} - Δ E_{0 \to 4} = 4, 18 aJ - 2, 11 aJ = 2, 07 aJ . \end{matrix}

Innen következik, hogy a részecskék sebessége az ütközés után

\begin{matrix} v'' = \sqrt[]{\frac{E''}{m}} = \sqrt[]{\frac{2, 07 \cdot 10^{- 18} J}{1, 67 \cdot 10^{- 27} kg}} = 3, 5 \cdot 10^{4} \frac{m}{s} . \end{matrix}

A részecskék sebességét a laboratóriumi koordináta-rendszerbe visszatranszformálva kapjuk, hogy a gerjesztett hidrogénatom

\begin{matrix} v_{h} = v_{tkp} + v'' = 8, 5 \cdot 10^{4} \frac{m}{s}, \end{matrix}

a proton pedig

\begin{matrix} v_{p} = v_{tkp} - v'' = 1, 5 \cdot 10^{4} \frac{m}{s} \end{matrix}

sebességgel fog mozogni az ütközés után.