Kezdőlap


Feladat:	4107. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Illés Dorottya , Pálovics Péter
Füzet:	2009/december, 560. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Erők forgatónyomatéka, Munkatétel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/november: 4107. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Amikor a bogár éppen a félgömbhéj peremére ér, az ábrán látható $T$ pontra felírt forgatónyomaték-egyensúly feltételéből kiszámíthatjuk a félgömb elfordulásának $α$ szögét:

\begin{matrix} M g \frac{R}{2} sin α = m g R cos α, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} tg α = \frac{2 m}{M} . \end{matrix}

(1)

A félgömbhéj elfordulása során a bogárnak az asztaltól mért távolsága

Δ h_{1} = R (1 - sin α)

értékkel lett nagyobb, a bogár helyzeti energiájának növekedése tehát

Δ E_{1} = m g R (1 - sin α)

. Ugyanakkor a félgömbhéj tömegközéppontja is magasabbra került, a helyzeti energiája emiatt

\begin{matrix} Δ E_{2} = M g \frac{R}{2} (1 - cos α) \end{matrix}

értékkel megnőtt. A bogár által végzett munka a helyzeti energiaváltozások összege:

\begin{matrix} W = Δ E_{1} + Δ E_{2} = m g R (1 - sin α) + M g \frac{R}{2} (1 - cos α), \end{matrix}

amely (1) felhasználásával algebrai átalakítások után

\begin{matrix} W = (M + 2 m - \sqrt[]{M^{2} + 4 m^{2}}) \frac{g R}{2} \end{matrix}

alakban is felírható.