Feladat: B.4177 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ádám Liliána ,  Blázsik Zoltán ,  Dinh Hoangthanh Attila ,  Fonyó Dávid ,  Győrfi Mónika ,  Hajdók Soma ,  Horowitz Gábor ,  Horváth Anna ,  Horváth Roland ,  Huszár Kristóf ,  Janosov Milán ,  Korondi Zénó ,  Kovács Gábor ,  Kovács Noémi ,  Loose Lilla ,  Márkus Bence ,  Mester Márton ,  Somogyi Ákos ,  Strenner Péter ,  Tóth Barnabás ,  Varga László ,  Varju Tamás ,  Zelena Réka 
Füzet: 2009/december, 535 - 536. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Körülírt kör, Középponti és kerületi szögek, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/április: B.4177

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Három esetet különböztetünk meg.
I. A háromszögben az A pontnál hegyesszög van (1. ábra). Legyen BCA∢=γ. Ekkor a B csúcsnál lévő, AB ívhez tartozó érintőszárú kerületi szög is γ. NMB∢=γ, mert NM∥AB.

 

 
1. ábra
 

Legyen BAC∢=α, ekkor BCM∢=α, mert a BC ívhez tartozó érintőszárú kerületi szög.
Mivel BMN∢=BCN∢=γ, azért BMCN húrnégyszög, hiszen a körülírt körében ezek a szögek a BN ívhez tartozó kerületi szögek. Így BNM∢=BCM∢=α, mert az előbbi körben a BM ívhez tartozó kerületi szögek.
MBA∢=180∘-γ, ezért
ANM∢=360∘-(α+γ+180∘-γ)=180∘-α.
Ebből következik, hogy BNA∢=δ=180∘-2α.
Így ABN∢=180∘-(180∘-2α+α)=α, tehát a BNA háromszög egyenlő szárú, így AN=BN.
II. A háromszögben az A pontnál derékszög van. Ekkor a B és C pontban húzott érintők párhuzamosak, mert a BC oldal átmérő a körben. Az M pont nem jön létre, így ekkor az állítás nem igaz.
III. A háromszögben az A pontnál tompaszög van (2. ábra). Legyen BAC∢=α. Ekkor a C csúcsnál lévő, AB ívhez tartozó érintőszárú kerületi szög is α. Az N csúcsnál is α szög van, mert NM∥AB.
 

 
2. ábra
 

Legyen BCA∢=γ, ekkor ABM∢=γ, mert az AB ívhez tartozó érintőszárú kerületi szög. BMN∢=γ, mert váltószögek ABM∢-gel. Így BCMN húrnégyszög, mert a körülírt körében BMN∢ és BCN∢ szögek a BN ívhez tartozó kerületi szögek.
Így MCN∢=δ=180∘-α-γ=MBN∢, mert az előbbi körben az MN ívhez tartozó kerületi szögek.
NBA∢=MBN∢+γ=180∘-α-γ+γ=180∘-α=NAB∢,
tehát az ABN háromszög egyenlő szárú, így AN=BN.