Kezdőlap


Feladat:	B.4157	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss Dóra , Tóth Teodóra
Füzet:	2009/december, 532 - 533. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egészrész, törtrész függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/február: B.4157

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen $[x] = k \in Z$ . Így $x^{4} - 2 x^{2} - k = 0$ . Az egyenlet gyökeinek négyzete:

\begin{matrix} x_{1,2}^{2} = \frac{2 \pm \sqrt[]{4 + 4 k}}{2} = \frac{2 \pm 2 \sqrt[]{1 + k}}{2} = 1 \pm \sqrt[]{1 + k}, \end{matrix}

ahol

1 + k \geq 0

vagyis

k \geq - 1

.
1. Ha

k < 0

, akkor

k = - 1

. Ekkor

\begin{matrix} x_{1,2}^{2} = 1 \pm \sqrt[]{0} = 1, \end{matrix}

és mivel

x < 0

, azért

x = - 1

.
2. Ha

k = 0

, akkor

\begin{matrix} x_{1,2}^{2} = 1 \pm \sqrt[]{1} . \end{matrix}

Ebből

x = 0

a jó megoldás, az

x = \pm \sqrt[]{2}

nem felel meg a

k = [x]

feltételnek.
3. Ha

k > 0

, akkor

x > 0

, és az egészrész definíciójából következően

x \geq [x] = k

.
Ha

x^{2} = 1 - \sqrt[]{1 + k} \geq 0

lenne, akkor

1 \geq \sqrt[]{1 + k}

, vagyis

1 \geq 1 + k

, amiből

0 \geq k

adódik, de ez ellentmond a feltételnek, ezért

x^{2} = 1 + \sqrt[]{1 + k}

.
Mivel

x > 0

, azért az

x = \sqrt[]{1 + \sqrt[]{1 + k}} \geq k

feltételnek kell teljesülnie. Ebből

\begin{matrix} 1 + \sqrt[]{1 + k} \geq k^{2}, vagyis \sqrt[]{1 + k} \geq k^{2} - 1, \end{matrix}

amit a

k^{2} \geq 1

feltétellel négyzetre emelve:

1 + k \geq k^{4} - 2 k^{2} + 1

. Rendezés után mindkét oldalt

k

-val elosztva:

1 \geq k^{3} - 2 k

, rendezve és szorzattá alakítva:

\begin{matrix} 0 \geq k^{3} - 2 k - 1 = k (k^{2} - 1) - (k + 1) = k (k - 1) (k + 1) - (k + 1) = (k + 1) (k^{2} - k - 1) \end{matrix}

a)

eset:

k + 1 \geq 0

és

k^{2} - k - 1 \leq 0

, amiből

\begin{matrix} k_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt[]{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt[]{5}}{2}, de 0 < k \leq \frac{1 + \sqrt[]{5}}{2} \approx 1, 618, \end{matrix}

vagyis

k = 1

és

\begin{matrix} x = \sqrt[]{1 + \sqrt[]{1 + k}} = \sqrt[]{1 + \sqrt[]{2}} \approx 1, 554 > 1. \end{matrix}

b)

eset:

k + 1 < 0

és

k^{2} - k - 1 > 0

, de ez a

k > 0

alapfeltevés miatt nem teljesülhet.
Az egyenletnek tehát három megoldása van:

- 1

0

és

\sqrt[]{1 + \sqrt[]{2}}