Kezdőlap


Feladat:	C.974	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2009/december, 528 - 529. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Trapézok, Húrnégyszögek, Síkgeometriai bizonyítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/január: C.974

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Alkalmazzuk a Ptolemaiosz-tételt: ha $a$ , $b$ , $c$ , $d$ egy húrnégyszög oldalai, $e$ és $f$ az átlók, akkor $e f = a c + b d$ . Jelen feladatban a szokásos jelölésekkel ez így írható: $a c = e^{2} - b^{2}$ , amit $a c = (e - b) (e + b)$ alakban is írhatunk. Ez éppen a kívánt $A B \cdot C D = A K \cdot B L$ összefüggést jelenti.

II. megoldás. Igazolandó:

\begin{matrix} A B \cdot C D = A K \cdot B L, \end{matrix}

a szokásos jelölésekkel:

a c = (e - b) (e + b)

. Ezt így is írhatjuk:

e^{2} = b^{2} + a c

A D C

háromszögben felírjuk a koszinusz-tételt:

\begin{matrix} e^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos (180^{\circ} - α) . \end{matrix}

Elegendő lenne bizonyítani, hogy

\begin{matrix} c^{2} - 2 b c \cdot cos (180^{\circ} - α) = a c, \end{matrix}

azaz:

c - 2 b \cdot cos (180^{\circ} - α) = a

, vagyis

\begin{matrix} cos (180^{\circ} - α) = \frac{\frac{c - a}{2}}{b}, illetve cos α = \frac{\frac{a - c}{2}}{b} . \end{matrix}

Ez pedig igaz.