Kezdőlap


Feladat:	C.973	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Gergő
Füzet:	2009/december, 528. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/január: C.973

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ismeretes, de a szögösszegezési azonosságok felhasználásával könnyen ki is számíthatjuk, hogy
$cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x$ és $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = cos^{2} x - (1 - cos^{2} x) = 2 cos^{2} x - 1$ .
Ezeket az összefüggéseket az egyenletbe írva kapjuk, hogy

\begin{matrix} 1 + 4 cos^{3} x - 3 cos x = 2 (2 cos^{2} x - 1) . \end{matrix}

Alakítsuk szorzattá az egyenleteket:

\begin{matrix} 4 cos^{3} x - 3 cos x - 4 cos^{2} x + 3 & = 0, \\ 4 cos^{2} x (cos x - 1) - 3 (cos x - 1) & = 0, \\ (4 cos^{2} x - 3) (cos x - 1) & = 0. \end{matrix}

Egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, azaz
1) Vagy

4 cos^{2} x = 3

cos x = \pm \frac{\sqrt[]{3}}{2}

. Innen

\begin{matrix} x_{1} & = \frac{π}{6} + 2 k π, & x_{2} & = \frac{5 π}{6} + 2 k π, \\ x_{3} & = \frac{11 π}{6} + 2 k π, & x_{4} & = \frac{7 π}{6} + 2 k π, \end{matrix}

ahol

k

egész.
2) Vagy

cos x = 1

és

x = 2 l π

, ahol

l

egész.
A megoldások:

\begin{matrix} x_{1} = 2 k π, x_{2} = \frac{π}{6} + k π, x_{3} = \frac{5 π}{6} + k π, \end{matrix}

ahol

k

tetszőleges egész szám.