Kezdőlap


Feladat:	C.968	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Árvay Balázs
Füzet:	2009/december, 527. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasságvonal, Egybevágósági transzformációk, Síkgeometriai bizonyítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/december: C.968

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tekintsük a $K C N$ háromszöget. Először megmutatjuk, hogy $Q$ a háromszög magasságpontja, aztán azt, hogy a $P C$ egyenes merőleges az $N K$ egyenesre, $P C$ az $N K$ oldalhoz tartozó magasságvonal.
Mivel a $P M C L$ és a $A K P N$ téglalap egybevágó, azért az $N M C D$ és az $A K L D$ téglalap is egybevágó. Ezen kívül $90^{\circ}$ -kal elforgatva kapjuk egyiket a másikból. Az egybevágóságból következik, hogy az átlók egyenlők: $N C = D K$ , a $90^{\circ}$ -os elforgatásból pedig az, hogy $N C ⊥ D K$ , azaz $D K$ a $K C N$ háromszög $N C$ oldalához tartozó magasságvonala.
Hasonlóan a $K B C L$ és az $A B M N$ téglalapok is egybevágóak, és $90^{\circ}$ -kal elforgatva kapjuk egyikből a másikat. Ezek átlóira is teljesül, hogy $K C = N B$ , $K C ⊥ N B$ , azaz
$N B$ a $K C$ oldalhoz tartozó magasságvonal. Az $N B$ és $D K$ metszéspontja $Q$ , tehát ez a magasságpont. A $P M C L$ és az $A K P N$ téglalapok is egybevágóak és $90^{\circ}$ -kal elforgatva egymásba forgathatók, tehát $P C = N K$ és $P C ⊥ N K$ , vagyis $P C$ az $N K$ oldalhoz tartozó magasságvonal. Ebből következik, hogy a $P C$ egyenes átmegy a $Q$ ponton.
Ezzel beláttuk, hogy $Q$ , $P$ és $C$ egy egyenesre illeszkedik.