Kezdőlap


Feladat:	C.965	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Halász Dániel , Mayer Martin János
Füzet:	2009/december, 526. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Számsorozatok, Terület, felszín, Négyzetek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/december: C.965

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az ábrák sorszámát $n$ -nel jelöljük. Az ábrák felépítéséből leolvasható, hogy az összes kis négyzet száma ${(2 n - 1)}^{2}$ , mivel a kis négyzetek száma minden sorban és minden oszlopban 2-vel nő az előzőekhez képest.
Az összes fekete négyzet száma az $n$ -edik ábrán $n^{2}$ . A fehér négyzetek száma rendre $0,1,4, ...,$ az $n$ -edik ábrán tehát ${(n - 1)}^{2}$ db fehér négyzet van.
Az $n$ -edik ábrán látható szürke négyzetek számát úgy kapjuk meg, ha az ábrán látható kis négyzetek számából levonjuk a fekete, illetve a fehér négyzetek számát. Az $n$ -edik ábrán ${(2 n - 1)}^{2} - n^{2} - {(n - 1)}^{2}$ db szürke négyzet van. Hányadik ábrán lesz 2112 db szürke négyzet? Megtudjuk, ha megkeressük az alábbi egyenlet pozitív egész megoldását: ${(2 n - 1)}^{2} - n^{2} - {(n - 1)}^{2} = 2112$ , azaz $n^{2} - n - 1056 = 0$ . A másodfokú egyenletet megoldva: $n_{1} = 33$ , $n_{2} = - 32$ . Ez utóbbi nyilván nem lehet a szürke négyzetek ábrájának sorszáma.
Tehát a 33. ábrán van pontosan 2112 darab szürke négyzet.

II. megoldás. Ha az egyes ábrákról elhagyjuk az alsó és a jobb szélső sort, akkor a maradék az alábbi kis négyzet ismétlődéséből fog állni:

Az előbbi kis négyzet az első ábrán 0-szor, a másodikon 1-szer, a harmadikon 4-szer, és így tovább fordul elő. Vagyis az

i

-edik sorszámú képen

{(i - 1)}^{2}

db lesz belőle. Mindegyik ilyen kis részlet két kis szürke négyzetet tartalmaz. Az alsó sorban (amit az előbb kihagytunk)

i - 1

db szürke négyzet van, ahogyan a jobb oldali sávban is. Mindent összeadva az alábbi képletet kapjuk a szürke négyzetek számára:

\begin{matrix} 2 {(i - 1)}^{2} + 2 (i - 1) = 2 i (i - 1), vagyis 2 i (i - 1) = 2112. \end{matrix}

Ebből kapjuk:

i^{2} - i - 1056 = 0

. Az egyenlet megoldása:

i_{1} = 33

i_{2} = - 32

. Ez utóbbi nyilván nem lehet, tehát a 33. ábrán lesz 2112 szürke négyzet.