Kezdőlap


Feladat:	C.963	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2009/december, 525. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Esetvizsgálat, Trigonometrikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/november: C.963

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A $sin^{2} x$ és a $cos^{2} x$ függvény mindenütt pozitív és legfeljebb 1, legkisebb értéke 0. Ezért az egyenlet csak úgy teljesülhet, ha az egyik függvény értéke 1, a másiké 0.
1. eset. Legyen $sin (x + y) = 1$ és $cos (x - y) = 0$ , akkor $x + y = \frac{π}{2} + 2 k π$ , $x - y = \frac{π}{2} + l π$ , ahol $k$ és $l$ egész számok. Összeadva az egyenletek megfelelő oldalait:

\begin{matrix} x = \frac{π}{2} (2 k + l + 1) és y = \frac{π}{2} (2 k - l) . \end{matrix}

2. eset. Ha

sin (x + y) = - 1

és

cos (x - y) = 0

, akkor

x + y = - \frac{π}{2} + 2 m π

x - y = \frac{π}{2} + n π

, ahol

m

és

n

egész számok. Az egyenletrendszer megoldása:

\begin{matrix} x = \frac{π}{2} (2 m + n), y = \frac{π}{2} (2 m - n - 1) . \end{matrix}