Kezdőlap


Feladat:	C.962	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Angi Réka , Boros Ágnes , Cserjési Szilárd , Fehér András , Izsó Dániel , Kalocsai Ákos , Lantos Tamás , Mihálka Éva Zsuzsanna , Poócza Eszter , Tokai-Kiss Réka , Veres Flóra , Zsupanek Alexandra
Füzet:	2009/december, 524 - 525. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Magasságpont, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/november: C.962

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Először hegyesszögű háromszögben számítsuk ki a szögeket. Az $A B C$ egyenlőszárú háromszög ( $A B = A C$ ) $C$ csúcsánál lévő szöge legyen $2 β$ ; a $B M$ magasság talppontja $B_{1}$ , a $C M$ magasság talppontja $C_{1}$ .

B_{1} B A

háromszög hasonló a

C_{1} C A

háromszöghöz. Mindkettő derékszögű és az

A

csúcsnál lévő szögük közös. Ebből következik, hogy

C_{1} C A ∢ = β

.
Az

C_{1} B M

és a

C_{1} C A

háromszögek egybevágók: mindkettő derékszögű,

C_{1} B M ∢ = C_{1} C A ∢ = β

, és

B M = C A

a feltétel szerint. Az egybevágóság miatt

B C_{1} = C_{1} C

. Vagyis a

B C C_{1}

háromszög egyenlő szárú, ezért

C_{1} C B ∢ = 2 β

.
Az eredeti

A B C

háromszög szögeit ki tudjuk fejezni

β

-val, így

\begin{matrix} 2 β + 2 (2 β + β) = 180^{\circ}, azaz 8 β = 180^{\circ}, tehát 2 β = 45^{\circ} . \end{matrix}

A háromszög másik két szöge:

\begin{matrix} \frac{180^{\circ} - 45^{\circ}}{2} = \frac{135^{\circ}}{2} = 67, 5^{\circ} . \end{matrix}

Legyen most az

A B C

háromszög tompaszögű. Ekkor a magasságpont a háromszögön kívülre esik és

B

M

szerepet cserélnek. Az előbb láttuk, hogy

C M A ∢ = 45^{\circ}

és

M C A ∢ = 67, 5^{\circ}

. Az előző bizonyítás lépéseit követve most is beláthatjuk, hogy a

C C_{1} M

háromszög egyenlő szárú. Mivel

C_{1} C M ∢ = 45^{\circ}

, kapjuk, hogy a

B C A ∢ = 67, 5^{\circ} - 45^{\circ} = 22, 5^{\circ}

és

A B C ∢ = 135^{\circ}

.
Vagyis az

A B C

háromszög szögei:

22, 5^{\circ}

135^{\circ}

és

22, 5^{\circ}