Kezdőlap


Feladat:	C.956	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kis-Pál Tamás
Füzet:	2009/december, 523. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Konvex sokszögek, Síkgeometriai bizonyítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/október: C.956

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen az eredeti sokszög oldalainak száma $m$ , ekkor az új sokszögnek $2 m$ oldala van. Egy $n$ -szög belső szögeinek összege $(n - 2) \cdot 180^{\circ}$ , így az eredeti sokszögben $(m - 2) \cdot 180^{\circ}$ , míg az új sokszögben $(2 m - 2) \cdot 180^{\circ}$ a belső szögek összege.
A feladat szerint a $(2 m - 2) \cdot 180^{\circ}$ egész számú többszöröse az $(m - 2) \cdot 180^{\circ}$ -nak, azaz $\frac{(2 m - 2) \cdot 180^{\circ}}{(m - 2) \cdot 180^{\circ}} \in Z$ .

\begin{matrix} \frac{(2 m - 2) \cdot 180^{\circ}}{(m - 2) \cdot 180^{\circ}} = \frac{2 m - 2}{m - 2} = \frac{2 (m - 2) + 2}{m - 2} = 2 + \frac{2}{m - 2}, \end{matrix}

tehát

\frac{2}{m - 2} \in Z

, azaz a 2-nek osztója az

m - 2

. A 2 osztói:

- 2

;

- 1

; 1; 2. Mivel

m \geq 3

, azért

m - 2 \geq 1

, vagyis

m - 2 = 1

vagy

m - 2 = 2

. Két lehetséges értéket kaptunk

m

-re.
Tehát a háromszögek és a négyszögek a feladatnak megfelelő sokszögek.