Kezdőlap


Feladat:	C.954	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Várnai Péter
Füzet:	2009/december, 522. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/szeptember: C.954

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Normál üzemmódban összesen nyolc gombnyomással jut el a kedvenc számához. Jelöljük $x$ -szel azon gombnyomások számát, amellyel Péter a ,,random'' üzemmódban a kedvenc (nyolcadik) számhoz jut el ( $x \in N$ ).
Annak esélye, hogy $x < 8$ :

\begin{matrix} p (x < 8) & = & p (x = 1) + p (x = 2) + p (x = 3) + ... + p (x = 7) = \\ = & \frac{1}{11} + \frac{10}{11} \cdot \frac{1}{10} + \frac{10}{11} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} + ... + \frac{10}{11} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{6} + \\ + \frac{10}{11} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{5} = 7 \cdot \frac{1}{11} = \frac{7}{11} . \end{matrix}

Vagyis annak az esélye, hogy Péter ,,random'' üzemmódban kevesebb, mint nyolc gombnyomással jut el kedvenc számához:

\frac{7}{11}

Megjegyzés. Egy általam készített program 10 millió futtatás esetén a futtatások 63,63814%-ban ért el a nyolcadik számhoz kevesebb, mint nyolc ,,gombnyomás'' alatt. Valóban:

\frac{7}{11} = 0, \dot{6} \dot{3} \approx 63, 64 %

II. megoldás. Összesen

11!

a sorba rendezések száma. A kedvenc dal az összekeverés után az első 7 hely valamelyikén lehet. Mind a 7 esetben a többi szám lehetséges sorrendje

10!

. Vagyis a valószínűség:

\begin{matrix} \frac{7 \cdot 10!}{11!} = \frac{7}{11} . \end{matrix}