Kezdőlap


Feladat:	C.950	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2009/december, 521. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	"a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/szeptember: C.950

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a számrendszer alapszáma $a$ . Mivel az eredményben szerepel a 9-es szám, $a > 9$ . Továbbá $6 \cdot 6 = 36$ és a szorzat 0-ra végződik, vagyis az alapszám 36-nak 9-nél nagyobb osztója, azaz 12, 18, 36 valamelyike.
Írjuk át a szorzást a tízes számrendszerbe:

\begin{matrix} (a^{2} + 6 a + 6) (5 a + 6) = 8 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a . \end{matrix}

Elvégezve a kijelölt műveleteket és rendezve:

\begin{matrix} f (a) = 3 a^{3} - 31 a^{2} - 57 a - 36 = 0. \end{matrix}

(1)

a = 12

, akkor (1) értéke:

\begin{matrix} 3 \cdot 12^{3} - 31 \cdot 12^{2} - 57 \cdot 12 - 36 = 5184 - 4464 - 684 - 36 = 0, \end{matrix}

vagyis 12 megoldása a feladatnak.
Belátjuk, hogy más megoldás nincs. Ehhez csupán

f (18)

és

f (36)

értékét kell kiszámítani. Alakítsuk szorzattá az (1) függvényt.

\begin{matrix} f (a) = (a - 12) (3 a^{2} + 5 a + 3) . \end{matrix}

A másodfokú kifejezést, melynek képe egy parabola a szokásos módon átalakítva kapjuk, hogy

\begin{matrix} 3 a^{2} + 5 a + 3 = 3 [{(a + \frac{5}{6})}^{2} + \frac{11}{36}] . \end{matrix}

Innen leolvashatjuk, hogy a parabola az

x

tengely fölött halad, tehát valóban nincs több gyöke az egyenletnek.