A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Vegyük az 5 cm-t egységnek. Tegyük fel, hogy egy téglatestet kiraktunk -es kis téglákból. Nyilván minden kis tégla élei párhuzamosak a téglatest éleivel. Először megmutatjuk, hogy ha a téglatest mérete , ahol , , pozitív egészek, akkor az felépíthető kis téglákból. Készítsünk db kis téglából db méretű téglatestet, ezekből darabot helyezzünk egymás mellé úgy, hogy a 2 egység hoszú éleiket illesszük össze, majd ezt még -szer ismételjük meg. Így db méretű téglatestet kapunk, amiket egymásra helyezve összeáll az nagyságú téglatest. Megmutatjuk, hogy más méretű téglatest nem építhető a kis téglákból. Mivel a kis téglák minden oldallapjának a területe páros, és a téglatest minden oldallapja ilyen téglalapokból van kirakva, a téglatest minden oldallapjának területe is páros. Tehát a téglatestnek nem lehet két páratlan hosszúságú nem párhuzamos éle. Ha megmutatjuk, hogy valamelyik él hossza 4-gyel is osztható, akkor készen vagyunk. Tegyük fel, hogy ez nem igaz. Mivel mindegyik kis tégla térfogata 8, a téglatest térfogata is osztható 8-cal. Ez csak úgy lehet, ha mindhárom él hossza páros szám, vagyis az élek hossza , , alakban írható alkalmas , , páratlan számokkal. Bontsuk fel a téglatestet az éleivel párhuzamosan -es kockákra, majd ezeket a kockákat fessük sakktáblaszerűen fehérre és feketére úgy, hogy minden kocka csak vele ellentétes színű kockákkal érintkezzen lapban (lásd első borító). Ezután a db -es kockát bontsuk tovább -es kis kockákra. Minden -es tégla két lapban szomszédos kockából tartalmaz 4-4 kis kockát, azaz minden tégla azonos számú fehér és fekete -es kis kockát tartalmaz. Vagyis a téglatest is azonos számú fehér és fekete -es kis kockát tartalmaz. Viszont a nagy kockák száma, feltevésünk szerint páratlan, ezért a téglatestben nem egyezhet meg a fehér és a fekete kis kockák száma. Ez az ellentmondás igazolja állításunkat. |