Feladat: 2009. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Nagy János 
Füzet: 2009/október, 392. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Indirekt bizonyítási mód
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/szeptember: 2009. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nagy János megoldása. Először helyettesítsünk be (a=1)-et. Ekkor az 1, f(b), f(b+f(1)-1) számokra igazak a háromszög-egyenlőtlenségek, de mivel egészek, ez csak úgy lehet, ha f(b)=f(b+f(1)-1) minden b∈N+-ra.
Indirekt tegyük fel, hogy f(1)≠1. Ekkor minden pozitív egész c-re

a+c(f(1)-1),f(b)ésf(b+f(a+c(f(1)-1))-1)
egy háromszög oldalai, de f(b+f(1)-1)=f(b) ismételt alkalmazásával a+c(f(1)-1), f(b), f(b+f(a)-1) is egy háromszög oldalai. Ekkor c-t megválaszthatjuk úgy, hogy a háromszög-egyenlőtlenség ne teljesüljön, tehát kaptuk, hogy f(1)=1.
Helyettesítsünk be b=1-et, ekkor a, 1 és f(f(a)) egy háromszög oldalai. Ez az egyenlőtlenségek miatt csak úgy lehet, hogy f(f(a))=a, minden a∈N+-ra.
Most látjuk, hogy a függvény minden értéket fölvesz (f(f(a))=a) és kölcsönösen egyértelmű is, hiszen ha f(a)=f(b), akkor f(f(a))=f(f(b)), vagyis a=b. Most igazoljuk, hogy f(2)=2. A kölcsönös egyértelműség miatt f(2)>1. Indirekten tegyük fel, hogy f(2)=x>2. Helyettesítsünk be a=2-t; ekkor
2+f(b)>f(b+x-1),def(b+x-1)+2>f(b),
és a kölcsönös egyértelműség miatt nem egyenlőek, tehát |f(b+x-1)-f(b)|=1.
Most vegyük az f(x), f(x+(x-1)), ..., f(x+c(x-1)), ... sorozatot, ennek bármely két szomszédos tagja között a különbség 1. Tudjuk, hogy f(x)=2. Ennek a sorozatnak az elemei csak úgy léphetnének ki a [0,x] intervallumból, ha létezne egy c≥0 úgy, hogy f(x+c(x-1))=x (mivel egyesével változnak). Ekkor
f(f(x+c(x-1)))=f(x)=2=x+c(x-1),
de x>2, így ez nem lehet.
Tehát az f(x), f(x+(x-1)), ... sorozat elemei a [0,x] intervallumban vannak, ezért lesz olyan érték, amit kétszer is felvesznek, ez pedig a kölcsönös egyértelműség miatt nem lehet.
Így látható, hogy f(1)=1, f(2)=2. Indukcióval belátjuk, hogy minden (x>0)-ra f(x)=x. A kezdőlépésekkel megvagyunk; tegyük fel, hogy minden i<x-re f(i)=i. Mivel x>2, azért 2 és x-2 is pozitív egész számok. Behelyettesítve:
2,f(x-1),f(x-1+f(2)-1)
egy háromszög oldalai, amiből f(x)<f(x-1)+2=x+1, tehát f(x)≤x. Az f(x)<x a kölcsönösen egyértelműség miatt nem lehet. Így azt kaptuk, hogy f(x)=x, amivel az indukciós lépést befejeztük.
Végezetül az f(x)=x függvény valóban teljesíti a feladat feltételeit, mert a, b és a+b-1 mindig egy el nem fajuló háromszög oldalai. Az egyetlen jó függvény az f(x)=x.