Kezdőlap


Feladat:	2009. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kornis Kristóf
Füzet:	2009/október, 390 - 391. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, Szögfelező egyenes, Beírt kör, Középponti és kerületi szögek, Tengelyes tükrözés, Húrnégyszögek, Érintőnégyszögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/szeptember: 2009. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kornis Kristóf megoldása. Legyen $D'$ a $D$ pont tükörképe a $C$ -ből induló szögfelezőre. Ha $O$ az $A B C$ beírt körének középpontja, $O D C ∢ = 90^{\circ} \Rightarrow O D K ∢ = 45^{\circ}$ , hiszen $D K$ felezi az $O D C$ szöget. Viszont $O$ és $K$ is rajta van a $C$ -ből induló szögfelezőn, így $O D' K ∢ = 45^{\circ}$ és $D'$ , $E$ $O K$ egy oldalán vannak, tehát $B E K ∢ = 45^{\circ}$ miatt $O$ , $E$ , $D'$ és $K$ egy körön fekszenek.
Emiatt $K E D' ∢ = K O D' ∢$ . Viszont $K O D' ∢ = K O D ∢$ , és ha $B A C ∢ = α$ , akkor

\begin{matrix} E B C ∢ = \frac{90^{\circ} - \frac{α}{2}}{2}, E C B ∢ = 90^{\circ} - \frac{α}{2} \Rightarrow \\ \Rightarrow K E D' ∢ = B E D ∢ - 45^{\circ} = 180^{\circ} - \frac{90^{\circ} - \frac{α}{2}}{2} - (90^{\circ} - \frac{α}{2}) - 45^{\circ}, \\ K O D ∢ = 90^{\circ} - (\frac{90^{\circ} - \frac{α}{2}}{2}) . \end{matrix}

Mivel

\begin{matrix} K E D' ∢ = K O D ∢, 45^{\circ} - \frac{90^{\circ} - \frac{α}{2} - α}{2} = 90^{\circ} - \frac{90^{\circ} - \frac{α}{2}}{2}, \end{matrix}

45^{\circ} = \frac{α}{2} \Rightarrow α = 90^{\circ}

A fenti számolással probléma lehet, ha

D' = E

, ugyanis ekkor nem beszélhetünk a

K E D' ∢

-ről. Ha

D' = E

, akkor

C D = C E

, és ekkor ha az alap

a

, a szár

b

hosszú,

\begin{matrix} C D = \frac{a}{2}, C E = \frac{a \cdot b}{a + b}, \frac{a}{2} = \frac{a \cdot b}{a + b} \Rightarrow a^{2} + a b = 2 a b \Rightarrow a = b, \end{matrix}

a háromszög szabályos. Ha viszont a háromszög szabályos,

O E C D

deltoid, érintőnégyszög, így az

A C D

háromszög beírt köre érinti

B E

-t is, tehát

\begin{matrix} B E K ∢ = \frac{B E C ∢}{2}, de B E C ∢ = 90^{\circ}, \end{matrix}

vagyis a

B E K ∢

ebben az esetben is

45^{\circ}

lesz.
Összefoglalva két megoldást kaptunk:

C A B ∢ = 90^{\circ}

, vagy

C A B ∢ = 60^{\circ}