Kezdőlap


Feladat:	2009. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szűcs Gergely
Füzet:	2009/október, 388. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, Körülírt kör középpontja, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/szeptember: 2009. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szűcs Gergely megoldása. Mivel $K L M ∢$ és $K M Q ∢$ egy ívhez tartozó kerületi, illetve érintőszárú kerületi szögek, így $K L M ∢ = K M Q ∢$ . Nyilván $M K ∥ Q B$ , mivel $M K$ a $Q B P$ háromszögben középvonal, így $P Q A ∢ = K M Q ∢$ , mert váltószögek. Tehát $P Q A ∢ = K M Q ∢$ , és hasonlóan $A P Q ∢ = M K L ∢$ , így $A P Q ▵ \sim M K L ▵$ .

Ebből

\frac{M K}{M L} = \frac{A P}{A Q}

, de

\begin{matrix} \frac{M K}{M L} = \frac{\frac{Q B}{2}}{\frac{P C}{2}} = \frac{Q B}{P C}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{Q B}{P C} = \frac{A P}{A Q}, \end{matrix}

amiből

Q A \cdot Q B = P A \cdot P C

, vagyis a

P

és

Q

pontoknak a körülírt körre vonatkozó hatványa megegyezik (lásd KöMaL 2009/4. szám, hátsó belső borító), amiből már

O P = O Q

következik.