Kezdőlap


Feladat:	B.4168	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke Lilla , Szabó Attila
Füzet:	2009/szeptember, 343 - 345. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Háromszögek nevezetes tételei, Beírt kör, Hozzáírt körök, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/március: B.4168

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A $C G$ és $K F$ szakaszok párhuzamosságát az őket tartalmazó $T_{2} C G$ és a $T_{1} K F$ háromszögek hasonlóságából látjuk be. A háromszög $C$ csúcsából induló magasságának talppontja legyen $T_{2}$ . A beírt kör $A B$ oldalon lévő érintési pontja legyen $T_{1}$ , a $B C$ és $A C$ oldalakon pedig $E$ és $H$ .

A körhöz egy külső pontból húzott érintő szakaszok egyenlők, ezért

C H = C E

A H = A T_{1}

B T_{1} = B E

. Az ábra alapján látható, hogy

\begin{matrix} A T_{1} = c - T_{1} B = A H, \\ C E = a - E B = a - B T_{1} = C H, \\ A H + C H = b, \end{matrix}

és

c - T_{1} B + a - T_{1} B = b

. Ebből

\begin{matrix} T_{1} B = \frac{c + a - b}{2} . \end{matrix}

A hozzáírt kör érintési pontja az

a

oldal meghosszabbításán legyen az

I

, a

b

oldal meghosszabbításán pedig a

J

pont. Az érintőszakaszok egyenlőségéből az ábra alapján:

I B = B G

G A = J A

C I = C J

\begin{matrix} G A = c - G B = A J, C B + B I = C A + A J, és a + G B = b + c - G B, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} B G = \frac{b + c - a}{2} . \end{matrix}

C T_{2} B

és

C A T_{2}

háromszögekben felírva a Pithagorasz-tételt:

\begin{matrix} a^{2} & = C T_{2}^{2} + T_{2} B^{2}, \\ b^{2} & = C T_{2}^{2} + {(c - T_{2} B)}^{2} = C T_{2}^{2} + c^{2} - 2 c T_{2} B + T_{2} B^{2} . \end{matrix}

Az első egyenletből a másodikat kivonva:

a^{2} - b^{2} = - c^{2} + 2 c T_{2} B

. Ebből

T_{2} B

-t kifejezve:

\begin{matrix} T_{2} B = \frac{a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2 c} . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} T_{1} F & = T_{1} B - F B = \frac{c + a - b}{2} - \frac{c}{2} = \frac{a - b}{2}, \\ T_{2} G & = T_{2} B - G B = \frac{a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2 c} - \frac{b + c - a}{2} = \frac{a^{2} - b^{2}}{2 c} + \frac{c}{2} - \frac{b}{2} - \frac{c}{2} + \frac{a}{2} = \\ = \frac{(a + b) (a - b)}{2 c} + \frac{a - b}{2} = \frac{(a + b) (a - b)}{2 c} + \frac{(a - b) c}{2 c} = \frac{(a - b) (a + b + c)}{2 c} . \end{matrix}

A két szakasz aránya:

\frac{T_{2} G}{T_{1} F} = \frac{a + b + c}{c}

. Az

A B C

háromszög területét kétféleképpen felírva:

\begin{matrix} T = \frac{(a + b + c) \cdot K T_{1}}{2} = \frac{c \cdot T_{2} C}{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} \frac{T_{2} C}{K T_{1}} = \frac{a + b + c}{c}, tehát \frac{T_{2} C}{K T_{1}} = \frac{T_{2} G}{T_{1} F}, vagyis \frac{T_{2} C}{T_{2} G} = \frac{T_{1} K}{T_{1} F} . \end{matrix}

T_{2} C G ▵

és a

T_{1} K F ▵

két-két oldalának aránya és a közbezárt szögük megegyezik, ezért a két háromszög hasonló, így szögeik megegyeznek. Mivel 2-2 oldaluk párhuzamos, azért a harmadik oldalpár is párhuzamos lesz egymással, vagyis

F K ∥ G C

II. megoldás. Az ábra jelöléseit felhasználva az állítást vektorok segítségével igazoljuk. Legyen a három csúcs helyvektora

\vec{A}

\vec{B}

\vec{C}

. Azt mutatjuk meg, hogy (alkalmas

k

számmal)

\vec{F K} = k \cdot \vec{G C}

, ami egyenértékű a feladat állításával.

Felhasználunk egy, a beírt kör középpontjának helyvektorára vonatkozó összefüggést:

\begin{matrix} \vec{K} = \frac{a \cdot \vec{A} + b \cdot \vec{B} + c \cdot \vec{C}}{a + b + c} . \end{matrix}

Közismert, hogy

\vec{F} = \frac{1}{2} (\vec{A} + \vec{B})

. Tudjuk továbbá, hogy a hozzáírt kör érintési pontja a

c

szakaszt két,

c_{1}

és

c_{2}

hosszúságú részre osztja, ezek hossza pedig a szokásos jelöléssel

c_{1} = s - a = \frac{1}{2} (b + c - a)

, és

c_{2} = s - b = \frac{1}{2} (a + c - b)

. Felhasználjuk az osztópont képletét:

\begin{matrix} \vec{G} = \frac{c_{1} \cdot \vec{A} + c_{2} \cdot \vec{B}}{c} = \frac{(b + c - a) \cdot \vec{A} + (a + c - b) \cdot \vec{B}}{2 c} . \end{matrix}

Most már felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} \vec{K F} & = \vec{F} - \vec{K} = \frac{1}{2} (\vec{A} + \vec{B}) - \frac{a \cdot \vec{A} + b \cdot \vec{B} + c \cdot \vec{C}}{a + b + c} = \\ = \frac{(a + b + c) \cdot \vec{A} + (a + b + c) \cdot \vec{B} - 2 a \cdot \vec{A} - 2 b \cdot \vec{B} - 2 c \cdot \vec{C}}{2 (a + b + c)} = \\ = \frac{(b + c - a) \cdot \vec{A} + (a + c - b) \cdot \vec{B} - 2 c \cdot \vec{C}}{2 (a + b + c)}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} \vec{C G} = \vec{G} - \vec{C} = \frac{(b + c - a) \cdot \vec{A} + (a + c - b) \cdot \vec{B} - 2 c \cdot \vec{C}}{2 c} . \end{matrix}

Könnyen látható, hogy

\vec{K F} = \frac{c}{a + b + c} \cdot \vec{C G}

. Ezt akartuk bizonyítani.