A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. A párhuzamos szelők tétele szerint, mivel a rombusz oldalai párhuzamoak az átlókkal:
Ha ez teljesül, akkor paralelogramma. Ha ezen felül még szomszédos oldalai egyenlőek, akkor rombusz. Tehát teljesülnie kell annak is, hogy . Mivel , azért , és így . Hasonlóan , amiből | | A két szakasz egyenlő, vagyis , amiből A szerkesztés menete a következő lehet. Egy, a pontból kiinduló félegyenesre felmérjük előbb az , majd az szakaszt. Ezek végpontja rendre , illetve . Az szakasszal az ponton át húzott párhuzamos kimetszi az szakaszból az pontot. Ezután , és az átlókkal húzott párhuzamosok segítségével kapható. Az így kapott négy pontra a szerkesztés menete miatt (1) és (2) is teljesül, tehát az általuk meghatározott négyszög valóban rombusz. A megoldásból az is kiderül, hogy mindig egy rombuszt kapunk.
II. megoldás. A rombusz átlói egyben szögfelezők is. Mivel a rombusz oldalai párhuzamosak a négyszög átlóival, a rombusz átlói párhuzamosak a négyszög átlói által meghatározott szögek felezőivel. Ennek a két szögfelezőnek azt a két eltoltását keressük, amely a szögfelezők négyszögbe eső szakaszainak felezőpontjait egy pontba viszi át. Ez lesz a rombusz átlóinak metszéspontja.
Ha a négyszögnek van párhuzamos oldalpárja, akkor illeszkedik ezen párhuzamosok felező (közép-párhuzamos) egyenesére. Egyébként jelölje a négyszög szemközti oldalegyeneseinek metszéspontját és , a szögfelezők oldalakkal vett metszéspontjait pedig , , és . A párhuzamosság és a felezés miatt illeszkedik az háromszög -ből, és az háromszög -ből induló súlyvonalára. A szerkesztés menete tehát a következő. Megrajzoljuk a négyszög átlói által meghatározott szögek felezőit. Vesszük ezeknek a négyszög oldalaival vett , , és metszéspontját, illetve a négyszög szemközti oldalegyeneseinek és metszéspontját. Utána az háromszög -ből, és az háromszög -ből induló súlyvonalát szerkesztjük meg, ezek metszéspontja lesz az pont. (Ha és közül valamelyik nem létezik, akkor a megfelelő párhuzamos oldalegyenesek felezőit húzzuk be.) Majd -n keresztül párhuzamost húzunk a két szögfelezővel, ezek kimetszik a négyszög oldalaiból a rombusz csúcsait.
|
|