Kezdőlap


Feladat:	B.4136	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czeller Ildikó , Kiss Boldizsár
Füzet:	2009/szeptember, 338 - 339. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rombuszok, Szögfelező egyenes, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Konvex négyszögek, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/december: B.4136

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. A párhuzamos szelők tétele szerint, mivel a rombusz oldalai párhuzamoak az átlókkal:

\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{l}{k} = \frac{s}{r} = \frac{p}{q} . \end{matrix}

(1)

Ha ez teljesül, akkor

E F G H

paralelogramma. Ha ezen felül még szomszédos oldalai egyenlőek, akkor rombusz. Tehát teljesülnie kell annak is, hogy

E F = E H

.
Mivel

A B D ▵ \approx A E H ▵

, azért

\frac{E H}{B D} = \frac{E H}{f} = \frac{y}{x + y}

, és így

E H = \frac{y f}{x + y}

. Hasonlóan

A B C ▵ \approx E B F ▵

, amiből

\begin{matrix} \frac{E F}{A C} = \frac{E F}{e} = \frac{x}{x + y}, ezért E F = \frac{x e}{x + y} . \end{matrix}

A két szakasz egyenlő, vagyis

\frac{y f}{x + y} = \frac{x e}{x + y}

, amiből

\begin{matrix} \frac{f}{e} = \frac{x}{y} . \end{matrix}

(2)

A szerkesztés menete a következő lehet. Egy, a

B

pontból kiinduló félegyenesre felmérjük előbb az

f

, majd az

e

szakaszt. Ezek végpontja rendre

E'

, illetve

A'

. Az

A A'

szakasszal az

E'

ponton át húzott párhuzamos kimetszi az

A B

szakaszból az

E

pontot. Ezután

F

G

és

H

az átlókkal húzott párhuzamosok segítségével kapható. Az így kapott négy pontra a szerkesztés menete miatt (1) és (2) is teljesül, tehát az általuk meghatározott négyszög valóban rombusz. A megoldásból az is kiderül, hogy mindig egy rombuszt kapunk.

II. megoldás. A rombusz átlói egyben szögfelezők is. Mivel a rombusz oldalai párhuzamosak a négyszög átlóival, a rombusz átlói párhuzamosak a négyszög átlói által meghatározott szögek felezőivel. Ennek a két szögfelezőnek azt a két eltoltását keressük, amely a szögfelezők négyszögbe eső szakaszainak felezőpontjait egy pontba viszi át. Ez lesz a rombusz átlóinak

O

metszéspontja.

Ha a négyszögnek van párhuzamos oldalpárja, akkor

O

illeszkedik ezen párhuzamosok felező (közép-párhuzamos) egyenesére.
Egyébként jelölje a négyszög szemközti oldalegyeneseinek metszéspontját

E

és

F

, a szögfelezők oldalakkal vett metszéspontjait pedig

G

H

I

és

J

. A párhuzamosság és a felezés miatt

O

illeszkedik az

F G H

háromszög

F

-ből, és az

E I J

háromszög

E

-ből induló súlyvonalára.
A szerkesztés menete tehát a következő. Megrajzoljuk a négyszög átlói által meghatározott szögek felezőit. Vesszük ezeknek a négyszög oldalaival vett

G

H

I

és

J

metszéspontját, illetve a négyszög szemközti oldalegyeneseinek

E

és

F

metszéspontját. Utána az

F G H

háromszög

F

-ből, és az

E I J

háromszög

E

-ből induló súlyvonalát szerkesztjük meg, ezek metszéspontja lesz az

O

pont. (Ha

E

és

F

közül valamelyik nem létezik, akkor a megfelelő párhuzamos oldalegyenesek felezőit húzzuk be.) Majd

O

-n keresztül párhuzamost húzunk a két szögfelezővel, ezek kimetszik a négyszög oldalaiból a rombusz csúcsait.