Kezdőlap


Feladat:	B.4133	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Maknics András
Füzet:	2009/szeptember, 335 - 336. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglalapok, Háromszög területe, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/december: B.4133

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a szabályos háromszög oldala $a$ hosszúságú és a $D A Q ∢$ nagysága $α$ . Ekkor $D Q A ∢ = 90^{\circ} - α$ és $P A B ∢ = 90^{\circ} - α - 60^{\circ} = 30^{\circ} - α$ .
Ebből $A P B ∢ = 180^{\circ} - (30^{\circ} - α + 90^{\circ}) = 60^{\circ} + α$ , és így

\begin{matrix} Q P C ∢ = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ} + α) = 60^{\circ} - α . \end{matrix}

C Q P ∢

nagysága

180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ} - α) = 30^{\circ} + α

A B P

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} A B = a cos (30^{\circ} - α) \end{matrix}

és

\begin{matrix} B P = a sin (30^{\circ} - α) . \end{matrix}

P C Q

háromszögből

\begin{matrix} P C = a sin (30^{\circ} + α) \end{matrix}

és

\begin{matrix} C Q = a cos (30^{\circ} + α) . \end{matrix}

Végül a

Q D A

háromszögből

\begin{matrix} Q D = a sin α és D A = a cos α . \end{matrix}

A bizonyítandó állítás:

\begin{matrix} t_{Q D A} + t_{A B P} = t_{P C Q}, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} 2 t_{Q D A} + 2 t_{A B P} = 2 t_{P C Q}, \end{matrix}

\begin{matrix} Q D \cdot D A + A B \cdot B P = P C \cdot C Q, \end{matrix}

Írjuk be az előbb kapott kifejezéseket:

\begin{matrix} a sin α \cdot a cos α + a cos (30^{\circ} - α) \cdot a sin (30^{\circ} - α) = a sin (30^{\circ} + α) \cdot a cos (30^{\circ} + α) . \end{matrix}

Mindkét oldalt osztva

a^{2} \neq 0

-val és az addíciós tételeket használva:

\begin{matrix} sin α cos α + (cos 30^{\circ} cos α + sin 30^{\circ} sin α) (sin 30^{\circ} cos α - cos 30^{\circ} sin α) = \\ = (sin 30^{\circ} cos α + cos 30^{\circ} sin α) (cos 30^{\circ} cos α - sin 30^{\circ} sin α) . \end{matrix}

A zárójeleket felbontva és az egyenletet rendezve kapjuk, hogy:

\begin{matrix} sin α cos α - 2 cos^{2} 30^{\circ} cos α sin α + 2 sin^{2} 30^{\circ} sin α cos α = 0. \end{matrix}

Felhasználva, hogy

sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}

és

cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}

, kapjuk, hogy

\begin{matrix} sin α cos α - sin α cos α = 0, \end{matrix}

ami azonosság. Mivel végig ekvivalens átalakításokat végeztünk, az (1) egyenlőség teljesül.