Kezdőlap


Feladat:	B.4125	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Botos Csongor
Füzet:	2009/szeptember, 333. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Tengelyes tükrözés, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/november: B.4125

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Legyen a két pont, amely illeszkedik a háromszög egy-egy szárára $P$ és $Q$ . A keresett háromszög csúcsai legyenek $A$ , $B$ és $C$ , $A D C ∢ = 45^{\circ}$ . Tükrözzük tengelyesen a $P$ pontot arra a szögszárra, amelyen a háromszög $C$ csúcsa van, a tükörkép legyen $P'$ .

Mivel az

A B C

háromszög egyenlő szárú, azért

A B C ∢ = C A B ∢ = α

B C A ∢ = 180^{\circ} - 2 α

. Továbbá

C A D ∢ = 180^{\circ} - α

és

\begin{matrix} D C P ∢ = D C A ∢ = 180^{\circ} - C A D ∢ - A D C ∢ = α - 45^{\circ} . \end{matrix}

Mivel a tengelyes tükrözés szögtartó, azért

P' C P ∢ = 2 \cdot D C P ∢ = 2 α - 90^{\circ}

. Tehát

B C P' ∢ = B C A ∢ + P' C P ∢ = 90^{\circ}

. Ez pedig azt jelenti, hogy

Q P'

Thalész-köre kimetszi a

C

csúcsot a szögszárból (a két metszéspont közül az a megfelelő, amely a

P' Q

által meghatározott két félsík közül a

D

pontot nem tartalmazóban van). Ezután pedig a

C P

és

C Q

félegyenesek kimetszik a másik szögszárból

A

-t és

B

-t. Természetesen, ha

P

-t a másik szögszárra tükrözzük, akkor egy, a fentitől különböző háromszöget kapunk, ami szintén eleget tesz a feladat feltételeinek, csak az előzőhöz képest a másik szögszáron van az alapja.
Ha

P Q

merőleges valamelyik szögszárra, akkor olyan háromszöget nem kapunk, amelyiknek azon a száron van az alapja.

P

és

Q

közül bármelyiket tükrözhetjük a kiválasztott szögszárra, mert a tengelyes szimmetria miatt

P Q'

és

P' Q

Thalész-köre ugyanazt a pontot metszi ki a szögszárból.