Kezdőlap


Feladat:	C.960	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blóz Gizella Evelin
Füzet:	2009/szeptember, 328. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Thalesz tétel és megfordítása, Trapézok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/november: C.960

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a téglalap $A B C D$ ( $B C < A B$ ), $A B = 12$ cm és $A C$ az az átlója, ami mentén a téglalapot behajtom, azaz amelyre tengelyesen tükrözve az $A B C$ háromszöget az $A B' C$ háromszöget kapjuk. Az $A C B' D$ trapézban $A D = D B' = B' C$ ( $A D \neq A C$ , mert $A D < A C$ , hiszen a derékszögű $D A C$ háromszögben a befogó kisebb az átfogónál).

Tekintsük azt a

k

kört, amelynek

A C

az átmérője, a középpontja pedig

O

A D C ∢ = 90^{\circ}

(az adott téglalap egyik szöge), a Thalész-tétel megfordítása alapján a

D

pont illeszkedik a

k

körre.
Mivel

A B C ∢ = 90^{\circ}

, a tengelyes tükrözés miatt

A B' C ∢ = 90^{\circ}

. Ezért a

B

és a

B'

pont is illeszkedik a

k

körre. Az eddigiek alapján és a téglalap összehajtása miatt

A

D

B'

C

illeszkednek az

A C

átmérőjű

k

félkörre.
Tudjuk, hogy

A D = D B' = B' C

, ezért

\begin{matrix} B' O C ∢ = \frac{A O C ∢}{3} = \frac{180^{\circ}}{3} = 60^{\circ} \end{matrix}

(egyazon körben egyenlő húrokhoz egyenlő középponti szögek tartoznak). A kerületi és középponti szögek tétele alapján:

\begin{matrix} B' A C ∢ = \frac{B' O C ∢}{2}, azaz B' A C ∢ = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}, \end{matrix}

és ekkor

C A B ∢ = 30^{\circ}

.
Ha egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge

30^{\circ}

-os, akkor a vele szemközti befogó fele az átfogónak. Legyen

B C = b

, ekkor

A C = 2 b

, így az

A B C

derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tétel szerint:

{(2 b)}^{2} = 12^{2} + b^{2}

, amiből

b = 4 \sqrt[]{3} \approx 6, 93

.
Tehát az adott téglalap rövidebbik oldala kb. 6,93 cm.