A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy csak , és lehetséges, ezekhez az értékekhez könnyen található is megfelelő pontrendszer. Ha , akkor a feltétel szerint a , , pontokhoz találhatunk egy negyedik -et is (amelyre az is igaz, hogy a tetraéder belső pontja), tehát az eset nem lehetséges. A továbbiakban feltételezzük, hogy . Vegyünk fel egy középpontú gömböt, és jelöljük -vel a félegyenes és metszéspontját (). Abból a feltételből, hogy a pontok közül semelyik négy nincs egy síkban, következik, hogy az pontok közül semelyik három nincs egy síkban -val. Továbbá, tetszőleges tetraéder pontosan akkor tartalmazza a belsejében -t, ha az tetraéder is a belsejében tartalmazza -t. Emiatt bármely három különböző , , ponthoz található legalább egy olyan pont, amelyre az tetraéder belső pontja.
Legyen az pontok konvex burka. Mivel az pontok a gömbön fekszenek, mindegyikük csúcsa -nak; a konvex poliédernek pontosan ez az csúcsa van. Többnyire lapjai háromszögek, de előfordulhat, hogy valamelyik lapnak több oldala van; az ilyen lapokat néhány átló behúzásával osszuk fel háromszögekre. (Azt is megtehetjük, hogy az pontokat egy kicsit elmozdítjuk, hogy semelyik négy ne essen egy síkra.) Jelöljük az így kapott ,,háromszöglapok'' és ,,élek'' számát -lel, illetve -vel. Az Euler-féle poliédertétel szerint . Minden háromszöglapot három él határol, és minden él két háromszöglapot választ el, így azt is tudjuk, hogy . A két összefüggésből -t eliminálva, , azaz Tetszőleges háromszöglaphoz van legalább egy olyan pont, amelyre az tetraéder belső pontja. Ekkor az egyenes az háromszög síkját az háromszöglap egy belső pontjában döfi át. Mivel konvex poliéder, az félegyenes csak egy háromszöglapot döfhet, és a különböző háromszöglapokhoz más és más pontok tartoznak. Ebből következik, hogy legalább annyi pont van, mint háromszöglap, vagyis Az (1) és (2) egyenlőtlenségek összevetéséből kapjuk, hogy . |