Kezdőlap


Feladat:	4142. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Krämer Zsolt
Füzet:	2009/május, 314 - 315. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gyűjtőlencse, Közelítő számítások, numerikus módszerek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/február: 4142. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ A fénysugarak megfordíthatósága miatt az első esetben a tárgy olyan messze van a lencsétől, mint a második esetben a lencse az ernyőtől. Abban az esetben, amikor a $k$ képtávolság nagyobb, mint a $t$ tárgytávolság, az ábráról leolvasható, hogy

\begin{matrix} k - t = s, illetve k + t = d . \end{matrix}

Ezekből számítható, hogy

\begin{matrix} t = \frac{d - s}{2} és k = \frac{d + s}{2} . \end{matrix}

A lencsetörvény szerint

\begin{matrix} \frac{1}{f} = \frac{1}{t} + \frac{1}{k} = \frac{2}{d - s} + \frac{2}{d + s} = \frac{4 d}{d^{2} - s^{2}}, \end{matrix}

a lencse keresett fókusztávolsága tehát

\begin{matrix} f = \frac{d^{2} - s^{2}}{4 d} . \end{matrix}

A fókusztávolság ilyen eljárással történő meghatározását Bessel-módszernek nevezik.

b)

d

-t pontosan ismerjük, akkor a fenti kifejezésben a nevezőt pontosan ismerjük, a hiba becslésénél elegendő a számlálóval foglalkoznunk.
Legyen az

s

távolság mérésekor elkövetett hiba

Δ s

, tehát a mért érték

s + Δ s

. (Feltételezhetjük, hogy

| Δ s | ≪ s

.) Az elkövetett mérési hiba miatt a

d^{2} - s^{2}

mennyiség mért értéke

\begin{matrix} d^{2} - {(s + Δ s)}^{2} = d^{2} - s^{2} - 2 s Δ s - {(Δ s)}^{2} \approx d^{2} - s^{2} - 2 s Δ s \end{matrix}

lesz, a fókusztávolság mért értéke tehát

\begin{matrix} f_{mért} = f + Δ f \approx \frac{d^{2} - s^{2}}{4 d} - s \frac{Δ s}{2 d} = f - s \frac{Δ s}{2 d} . \end{matrix}

Látjuk, hogy a fókusztávolság

\begin{matrix} Δ f = - s \frac{Δ s}{2 d} \end{matrix}

nagyságú mérési hibája (pontosan mért

d

esetén) annál nagyobb, minél nagyobb az

s

távolság.