A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Jelöljük a kiindulási állapotot 0-s állapotnak, az a helyzet, amikor a dugattyú éppen hozzáér a rugó végéhez legyen az 1. állapot, és a végállapotra mint 2. állapotra hivatkozunk. A megadott és a keresett fizikai mennyiségeket ennek a jelölésnek megfelelő indexekkel látjuk el, tehát pl. a végállapot 18 dm-es térfogatát (a kitűzési szöveggel ellentétben) -vel fogjuk jelölni! Számoljuk ki az egyes állapotokhoz tartozó nyomást, térfogatot, a dugattyú elmozdulását és az eltelt időt! Ezek ismeretében (a hőtan első főtételét is felhasználva) meghatározhatjuk a gáz belső energiájának változását, a gázon végzett munkát, majd a közölt hőt, illetve a hőleadás teljesítményét. Kezdőállapotban a héliumgáz nyomása a légköri nyomás és a dugattyú súlyából származó nyomás összege: | | (A dugattyú súlyából származó nyomás elhanyagolható a légköri nyomás mellett!) A gáz térfogata Az 1. állapothoz tartozó térfogat: a nyomás az 1. állapotban (és a folyamat során mindvégig) . A megadott sebességgel mozgó dugattyú idő alatt ér az 1. állapotba. A 2. állapotban a gáz térfogata , a dugattyú tehát az 1. állapothoz képest távolságnyit el kellett mozduljon, ennyivel nyomta össze a rugót. Ebben az állapotban a rugó által kifejtett erő a gáz nyomása tehát A dugattyú idő alatt ér az 1. állapotból a gáz 2. állapotának megfelelő helyzetbe, ez tehát az indítást követő 10. másodpercben következik be. A kiszámított adatok felhasználásával ábrázolhatjuk a héliumgáz állapotváltozását ‐ diagramon. A folyamat izobár, az folyamat során pedig a nyomás a dugattyú elmozdulásával arányosan növekszik, tehát az állapotváltozást a ‐ diagramon egyenes szakasz szemlélteti (1. ábra). Az ábrán a jellegzetes időpontokat is feltüntettük. A dugattyú egyenletes sebességgel mozog, emiatt a gáz térfogata az idővel egyenes arányban változik.
1. ábra A termodinamika első főtétele szerint a gázzal közölt hő, a gáz belső energiájának megváltozása és a gáz által végzett munka között fennáll a összefüggés. Ez a kapcsolat a fenti formában csak kicsiny változásokra érvényes, a gáz teljes állapotváltozása során felvett (vagy leadott) hőt a kicsiny változások járulékainak összegzésével kaphatjuk meg. A gáz belső energiáját az állapotegyenletből kaphatjuk meg, ahol a gázmolekulák szabadsági fokainak száma, héliumra . A gáz munkavégzését a teljes folyamatra (vagy annak bármely részére) a diagramon a ,,görbe alatti területből'' olvashatjuk le. Ezen általános megfontolásokat a jelen feladat szakaszára alkalmazva a fűtőszál által közölt hőre | | adódik. Mivel ez a hőátadás időben egyenletesen történt, a fűtőszál pillanatnyi teljesítménye időben állandó és az átlagteljesítménnyel egyezik meg: | |
Hasonló módon számolható a folyamat második felében közölt hő is: | | Az átlagos fűtőteljesítmény ebben a szakaszban de a pillanatnyi teljesítmény itt már nem állandó, hanem időben egyenletesen változva növekszik. Ezt úgy láthatjuk be, hogy meggondoljuk: a gáz által időegységenként felvett hő | | Tekintve, hogy a gáz térfogata is és a nyomása is az idővel arányosan nő, a és hányadosok időben nem változnak, az őket szorzó , illetve mennyiségek viszont időben egyenletesen nőnek, tehát a pillanatnyi fűtőteljesítmény egész kifejezésének is időben egyenletesen kell növekednie. Kezdetben (az 1. állapotban) a fűtőteljesítmény a korábbi 250 W-tal egyezik meg, átlagértéke ‐ mint láttuk ‐ 400 W, a legnagyobb értéke tehát (a 2. állapotban) 550 W kell legyen. A pillanatnyi fűtőteljesítményt az idő függvényében a 2. ábra mutatja. Ennek görbe alatti területéből ugyancsak leolvasható, hogy a fűtőszál által közölt teljes hő: J.
2. ábra |