Kezdőlap


Feladat:	4121. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bartha Zsolt , Czeller Ildikó , Fridrich Veronika , Hegedűs Csaba , Illés Dorottya , Maknics András , Vuchetich Bálint
Füzet:	2009/május, 307 - 309. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gázok egyéb állapotváltozása, Hő
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/december: 4121. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a kiindulási állapotot 0-s állapotnak, az a helyzet, amikor a dugattyú éppen hozzáér a rugó végéhez legyen az 1. állapot, és a végállapotra mint 2. állapotra hivatkozunk. A megadott és a keresett fizikai mennyiségeket ennek a jelölésnek megfelelő indexekkel látjuk el, tehát pl. a végállapot 18 dm $^{3}$ -es térfogatát (a kitűzési szöveggel ellentétben) $V_{2}$ -vel fogjuk jelölni!
Számoljuk ki az egyes állapotokhoz tartozó nyomást, térfogatot, a dugattyú elmozdulását és az eltelt időt! Ezek ismeretében (a hőtan első főtételét is felhasználva) meghatározhatjuk a gáz belső energiájának változását, a gázon végzett munkát, majd a közölt hőt, illetve a hőleadás teljesítményét.
Kezdőállapotban a héliumgáz nyomása a légköri nyomás és a dugattyú súlyából származó nyomás összege:

\begin{matrix} p = p_{0} + \frac{m g}{A} = 10^{5} Pa + \frac{0, 02 kg \cdot 10 {m/s}^{2}}{2 \cdot 10^{- 2} m^{2}} \approx p_{0} . \end{matrix}

(A dugattyú súlyából származó nyomás elhanyagolható a légköri nyomás mellett!) A gáz térfogata

\begin{matrix} V_{0} = 0, 008 m^{3} . \end{matrix}

Az 1. állapothoz tartozó térfogat:

\begin{matrix} V_{1} = V_{0} + A d = 0, 012 m^{3}, \end{matrix}

a nyomás az 1. állapotban (és a

0 \to 1

folyamat során mindvégig)

p_{1} = p_{0}

. A megadott sebességgel mozgó dugattyú

\begin{matrix} t_{1} = \frac{d}{v_{0}} = 4 s \end{matrix}

idő alatt ér az 1. állapotba.
A 2. állapotban a gáz térfogata

V_{2} = 0, 018 m^{3}

, a dugattyú tehát az 1. állapothoz képest

\begin{matrix} Δ ℓ = \frac{V_{2} - V_{1}}{A} = 0, 3 m \end{matrix}

távolságnyit el kellett mozduljon, ennyivel nyomta össze a rugót. Ebben az állapotban a rugó által kifejtett erő

D \cdot Δ ℓ,

a gáz nyomása tehát

\begin{matrix} p_{2} = p_{1} + \frac{D \cdot Δ ℓ}{A} = 1, 3 \cdot 10^{5} Pa. \end{matrix}

A dugattyú

\begin{matrix} Δ t = \frac{Δ ℓ}{v_{0}} = 6 s \end{matrix}

idő alatt ér az 1. állapotból a gáz 2. állapotának megfelelő helyzetbe, ez tehát az indítást követő 10. másodpercben következik be.
A kiszámított adatok felhasználásával ábrázolhatjuk a héliumgáz állapotváltozását

p

‐

V

diagramon. A

0 \to 1

folyamat izobár, az

1 \to 2

folyamat során pedig a nyomás a dugattyú elmozdulásával arányosan növekszik, tehát az állapotváltozást a

p

‐

V

diagramon egyenes szakasz szemlélteti (1. ábra). Az ábrán a jellegzetes időpontokat is feltüntettük. A dugattyú egyenletes sebességgel mozog, emiatt a gáz térfogata az idővel egyenes arányban változik.

1. ábra

A termodinamika első főtétele szerint a gázzal közölt

Q

hő, a gáz belső energiájának

Δ E

megváltozása és a gáz által végzett

p Δ V

munka között fennáll a

\begin{matrix} Q = Δ E + p Δ V \end{matrix}

összefüggés. Ez a kapcsolat a fenti formában csak kicsiny változásokra érvényes, a gáz teljes állapotváltozása során felvett (vagy leadott) hőt a kicsiny változások járulékainak összegzésével kaphatjuk meg. A gáz belső energiáját az

\begin{matrix} E = \frac{f}{2} p V \end{matrix}

állapotegyenletből kaphatjuk meg, ahol

f

a gázmolekulák szabadsági fokainak száma, héliumra

f = 3

. A gáz munkavégzését a teljes folyamatra (vagy annak bármely részére) a

p - V

diagramon a ,,görbe alatti területből'' olvashatjuk le.
Ezen általános megfontolásokat a jelen feladat

0 \to 1

szakaszára alkalmazva a fűtőszál által közölt hőre

\begin{matrix} Q_{0 \to 1} = \frac{3}{2} p_{0} (V_{1} - V_{0}) + p_{0} (V_{1} - V_{0}) = 1000 J \end{matrix}

adódik. Mivel ez a hőátadás időben egyenletesen történt, a fűtőszál pillanatnyi teljesítménye időben állandó és az átlagteljesítménnyel egyezik meg:

\begin{matrix} P (t) = {\bar{P}}_{0 \to 1} = \frac{Q_{0 \to 1}}{t_{1}} = \frac{1000 J}{4 s} = 250 W. \end{matrix}

Hasonló módon számolható a folyamat második felében közölt hő is:

\begin{matrix} Q_{1 \to 2} = \frac{3}{2} (p_{2} V_{2} + p_{0} V_{1}) + \frac{1}{2} (p_{2} + p_{0}) (V_{2} - V_{1}) = 2400 J. \end{matrix}

Az átlagos fűtőteljesítmény ebben a szakaszban

\begin{matrix} {\bar{P}}_{1 \to 2} = \frac{Q_{1 \to 2}}{t_{2} - t_{1}} = 400 W, \end{matrix}

de a pillanatnyi teljesítmény itt már nem állandó, hanem időben egyenletesen változva növekszik. Ezt úgy láthatjuk be, hogy meggondoljuk: a gáz által időegységenként felvett hő

\begin{matrix} \frac{Δ Q}{Δ t} = \frac{3}{2} \frac{Δ (p V)}{Δ t} + \frac{p Δ V}{Δ t} = \frac{5}{2} p \frac{Δ V}{Δ t} + \frac{3}{2} V \frac{Δ p}{Δ t} . \end{matrix}

Tekintve, hogy a gáz térfogata is és a nyomása is az idővel arányosan nő, a

\frac{Δ V}{Δ t}

és

\frac{Δ p}{Δ t}

hányadosok időben nem változnak, az őket szorzó

p

, illetve

V

mennyiségek viszont időben egyenletesen nőnek, tehát a pillanatnyi fűtőteljesítmény egész kifejezésének is időben egyenletesen kell növekednie. Kezdetben (az 1. állapotban) a fűtőteljesítmény a korábbi 250 W-tal egyezik meg, átlagértéke ‐ mint láttuk ‐ 400 W, a legnagyobb értéke tehát (a 2. állapotban) 550 W kell legyen.
A pillanatnyi fűtőteljesítményt az idő függvényében a 2. ábra mutatja. Ennek görbe alatti területéből ugyancsak leolvasható, hogy a fűtőszál által közölt teljes hő:

1000 Ws + 2400 Ws = 3400

2. ábra