Kezdőlap


Feladat:	4113. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barancsuk Lilla , Lovas Lia Izabella , Patartics Bál
Füzet:	2009/május, 303 - 305. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Elektromos mező energiája, energiasűrűsége, Felületi töltéssűrűség
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/november: 4113. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A vékony gömbsüveg nem változtatja meg a gömb kapacitását, az továbbra is

\begin{matrix} C = \frac{R}{k} \end{matrix}

marad, ahol

k = \frac{1}{4 π ε_{0}}

a Coulomb-állandó. Ha a gömböt

U

feszültségre töltjük fel, a rajta levő össztöltés

\begin{matrix} Q = C U = \frac{U R}{k} . \end{matrix}

A gömbsüveg a fémgömb egyenletes töltéseloszlását sem változtatja meg, mindössze annyi változást okoz, hogy a gömbsüveg által lefedett felületről az ott lévő töltések az alufólia külső felületére vándorolnak. Az elektromos mező gömbszimmetrikus Coulomb-mező marad, és az elektromos térerősség a fólia közvetlen közelében

\begin{matrix} E = k \frac{Q}{R^{2}} = \frac{U}{R} \end{matrix}

nagyságú, sugár irányban kifelé mutató vektor lesz.
Az alufólián levő töltések és a gömb többi részén levő töltések taszítják egymást, emiatt az alufóliára (szimmetria-megfontolásokból adódóan) függőleges, felfelé irányuló elektrosztatikus erő hat. A süveg akkor emelkedik fel a gömbről, amikor ez a taszítóerő éppen megegyezik az alufólia

m g

súlyával.
Az alufóliára ható erőt úgy számíthatjuk ki, hogy képzeletben felosztjuk a gömbsüveget kicsiny, egyenként

Δ F

nagyságú felületdarabkákra, meghatározzuk, hogy mennyi töltés van az egyes felületdarabkákon, és hogy az elektrosztatikus mező mekkora és milyen irányú erőt fejt ki ezekre a kis töltésekre. Az erőhatások vektori összege megadja az alufóliára ható eredő elektromos erőt (lásd az ábrát!).

A gömb

Q

össztöltése, mint láttuk,

\frac{U R}{k}

. A gömbsüveg egységnyi felületére

\begin{matrix} σ = \frac{Q}{4 π R^{2}} = ε_{0} \frac{U}{R} \end{matrix}

töltés jut (

σ

neve: felületi töltéssűrűség),

Δ F

felületen tehát

Δ Q = σ Δ F

töltés található. Erre a töltésre a gömbön kívüli,

E

nagyságú, a felületre merőleges irányú elektromos térerősség

\begin{matrix} p = \frac{1}{2} E Δ Q = \frac{ε_{0}}{2} \frac{U^{2}}{R^{2}} \end{matrix}

nagyságú, a felületdarabkákra merőleges irányú erőt fejt ki. A

p

mennyiség (amely nyomás jellegű, hiszen az egységnyi felületre ható erő nagyságát adja meg), megegyezik az elektromágneses mező

\begin{matrix} w = \frac{ε_{0}}{2} E^{2} \end{matrix}

energiasűrűségével, egységnyi térfogatra jutó energiájával.
A gömbsüvegre ható (felületegységenként

p

nagyságú) erők éppen olyanok, mintha a gömbsüveget alulról

p

nyomású folyadék nyomná. Ha a gömbsüveget gondolatban lezárnánk egy

r

sugarú körlappal, és a folyadék-analógiát kihasználva ezen a körlapon is figyelembe vennénk egy

p \cdot r^{2} π

nagyságú nyomóerőt, akkor az eredő erő nyilván nulla lenne (hiszen egy zárt felületet belülről nyomó folyadék nem fejthet ki eredő erőt). Ezek szerint a gömbsüvegre ható eredő erő nagysága

\begin{matrix} F = p \cdot r^{2} π = \frac{ε_{0}}{2} \frac{U^{2}}{R^{2}} \cdot r^{2} π . \end{matrix}

Ugyanerre a következtetésre úgy is eljuthatunk, hogy meggondoljuk, a felületdarabkákra ható erőknek elegendó a függőleges összetevőit összegezni, hiszen az eredő erő ‐ szimmetriamegfontolások szerint ‐ biztosan függőleges:

\begin{matrix} F = \sum p Δ F \cdot cos α = p \sum Δ F cos α, \end{matrix}

ahol

α

a felületdarabka érintősíkjának a vízszintessel bezárt szöge. Mivel

Δ F cos α

a felületdarabka vízszintes vetületének területe, ezek összege a gömbsüveg vetületének, vagyis egy

r

sugarú körlapnak

r^{2} π

területével egyezik meg.
A gömbsüveg felületének nagysága

\begin{matrix} A = 2 π R h, \end{matrix}

ahol

h = R - \sqrt[]{R^{2} - r^{2}}

a gömbsüveg magassága. Az alufólia tömege

\begin{matrix} m = A d \cdot ϱ = 2 π R (R - \sqrt[]{R^{2} - r^{2}}) d \cdot ϱ \end{matrix}

módon számolható. A süveg felrepülésének feltétele:

\begin{matrix} F > m g, azaz ε_{0} \frac{U^{2}}{2 R^{2}} \cdot r^{2} π > 2 π R (R - \sqrt[]{R^{2} - r^{2}}) d \cdot ϱ g, \end{matrix}

ahonnan a kritikus feszültség:

\begin{matrix} U_{krit.} = \sqrt[]{\frac{4 R^{3} d ϱ g (R - \sqrt[]{R^{2} - r^{2}})}{ε_{0} r^{2}}}, \end{matrix}

Ennél nagyobb feszültségre feltöltött fémgömbről felemelkedik a megadott méretű és sűrűségű, gömbhéj alakú alufólia.