Kezdőlap


Feladat:	C.938	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csere Kálmán
Füzet:	2009/május, 284. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Diofantikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/március: C.938

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Elvégezve a hatványozást, majd kivonva $x^{4}$ -t:

\begin{matrix} 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16 = y^{3} . \end{matrix}

Mivel 8 köbszám, legyen

8 b^{3} = y^{3}

, így

\begin{matrix} 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16 & = 8 b^{3}, \\ x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2 & = b^{3} . \end{matrix}

A kapott egyenletet alakítsuk át:

\begin{matrix} {(x + 1)}^{3} + (x + 1) = b^{3} . \end{matrix}

Most legyen

a = x + 1

, így

\begin{matrix} a^{3} + a & = b^{3}, \\ a (a^{2} + 1) & = b^{3} . \end{matrix}

Mivel

a

és

a^{2} + 1

egymással relatív prímek, azért

a (a^{2} + 1)

csak akkor köbszám, ha

a

és

a^{2} + 1

is köbszám. Ez csak úgy lehetséges, ha

a^{2} = 0

és

a^{2} + 1 = 1

. Ekkor

x + 1 = 0

, így

x = - 1

y = 0