Kezdőlap


Feladat:	C.891	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2009/május, 283. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konvex sokszögek, Számtani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/március: C.891

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a sokszög legkisebb szögét $α$ . Tudjuk, hogy az $n$ oldalú sokszög belső szögeinek összege

\begin{matrix} (n - 2) \cdot 180^{\circ} . \end{matrix}

Írjuk fel másrészt a belső szögek összegét a számtani sorozat ismert összegképletének felhasználásával:

\begin{matrix} S_{n} = \frac{n}{2} (2 α + n - 1) = (n - 2) \cdot 180^{\circ} . \end{matrix}

(1)

Rendezzük az egyenletet:

\begin{matrix} 2 α n + n^{2} - n = 360 n - 720. \end{matrix}

Ebből az egyenletből fejezzük ki

α

-t:

\begin{matrix} α = \frac{n - 2}{n} \cdot 180 - \frac{n - 1}{2} . \end{matrix}

Akkor létezik a megfelelő sokszög, ha

α

(a sokszög legkisebb szöge) pozitív, és

α + (n - 1)

(a konvex sokszög legnagyobb szöge) kisebb, mint

180^{\circ}

. Így

\begin{matrix} \frac{n - 2}{2} \cdot 180 > \frac{n - 1}{2}, és \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} \frac{n - 2}{n} \cdot 180 - \frac{n - 1}{2} + n - 1 < 180, azaz \end{matrix}

\begin{matrix} n^{2} - n - 720 < 0. \end{matrix}

(3)

n^{2} - n - 720 = 0

egyenlet gyökei:

\begin{matrix} n_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt[]{2881}}{2} \approx 27, 33 \end{matrix}

vagy negatív, ezért a (3)-nak eleget tevő legnagyobb pozitív egész a 27. Mivel 27-re a (2) egyenlőtlenség is teljesül, a sokszög oldalainak száma legfeljebb 27 lehet.