Kezdőlap


Feladat:	B.3845	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Léderer Ágnes , Nagy János , Szabó Tamás
Füzet:	2007/március, 145 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Háromszögek geometriája, Diszkusszió, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/október: B.3845

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje az $A C$ , illetve $B C$ oldal $C$ -hez közelebbi harmadoló pontját $B_{1}$ , illetve $A_{1}$ . Húzzuk meg az $A_{1} B_{1}$ szakaszt. Ennek hossza a párhuzamos szelőszakaszok tétele szerint $\frac{A B}{3}$ . Az $A_{1} B_{1} A$ háromszög másik két oldalának hosszát is ismerjük, hiszen $A A_{1}$ adott, $A B_{1}$ pedig az $A C$ oldal hosszának kétharmada. A szerkesztés menete tehát a következő: Felvesszük az $A C$ oldalt, és megszerkesztjük rajta $B_{1}$ -et. Ezután ismert oldalaiból megszerkesztjük az $A B_{1} A_{1}$ háromszöget. Így megkapjuk az $A_{1}$ pontot. Ezután meghúzzuk a $C A_{1}$ félegyenest és $C$ -ből indulva megháromszorozzuk a $C A_{1}$ szakaszt. Így megkapjuk a $B$ pontot is, tehát ezzel a lépéssel befejeztük a háromszög szerkesztését.

Diszkusszió: a szerkesztési lépések közül az

A C

szakasz felvétele és harmadolása mindig megtehető. Az

A_{1} B_{1} A

háromszög ismert oldalainak

(\frac{2}{3} A C, A A_{1}, \frac{A B}{3})

teljesíteniük kell a háromszög-egyenlőtlenséget. Ezen feltételek teljesülése mellett mindig kapunk megoldást. Az

A_{1} B_{1} A

háromszög szerkesztésekor természetesen két

A_{1}

pont adódik, de ezek a pontok, így az egész elrendezés tengelyesen tükrös az

A C

egyenesre, vagyis a két kapott háromszög egybevágó.

II. megoldás. Legyen

H

B C

oldal

C

-hez közelebbi harmadolópontja, valamint az

A

középpontú

A C

, illetve

A B

sugárral húzott körök legyenek

k_{1}

és

k_{2}

. Ha

H

-ból

C

-t

(- 2)

-szeresen nagyítjuk, akkor

B

-t kapjuk. Ezek szerint, ha

H

-ból

(- 2)

-szeresére nagyítjuk

k_{1}

-et (a kapott kör legyen a

k_{3}

kör), akkor az

B

-ben metszeni fogja

k_{2}

-t. Innen a szerkesztés menete:
1. Az

A H

szakaszt szabadon felvesszük.
2. Megszerkesztjük az

A

középpontú

A B

és

A C

sugarú köröket, ezek

k_{1}

és

k_{2}

.
3. Megszerkesztjük az

A

pont

H

-ra vonatkozó

- 2

arányú középpontosan nagyított képét, ez lesz

O

.
4. Megszerkesztjük az

O

középpontú,

2 A C

sugarú kört, ez lesz

k_{3}

.
5.

k_{3}

és

k_{2}

egyik metszéspontja lesz

B

(két metszéspont van, de ezek szimmetrikusak

A H

-ra).
6.

B

-t tükrözzük

H

-ra és felére kicsinyítjük, ezzel megkapjuk

C

-t. Ezzel az

A B C

háromszög szerkesztését befejeztük.

Diszkusszió: A szerkeszthetőség feltétele, hogy a

k_{2}

és

k_{3}

köröknek legyen metszéspontja, ami akkor teljesül, ha az

A B

2 A C

és

A O = 3 A H

szakaszokra igaz a háromszög-egyenlőtlenség.

III. megoldás. Egészítsük ki az

A B C

háromszöget az

A B D

háromszögre úgy, hogy a

C

pont az

A D

szakasz felezőpontja legyen. Jelölje a

B C

oldal

C

-hez közelebbi harmadoló pontját

H

, a

B D

felezőpontját pedig

F

. Mivel

H

A B D

háromszög

B

csúcsához tartozó súlyvonalának az

A D

oldalhoz közelebbi harmadoló pontja,

H

e háromszög súlypontja. Ezt felhasználva a szerkesztés menete a következő:

1. Megszerkesztjük az

A F C

háromszöget három oldalából

(\frac{c}{2}, b, \frac{3}{2} A H)

.
2. Az

A

ponton át párhuzamost húzunk

C F

-fel és rámérjük az

A B

távolságot. Összekötjük a

B

és

C

pontokat, ezzel a keresett háromszöget megszerkesztettük.
Diszkusszió: A szerkeszthetőség feltétele az, hogy a

\frac{c}{2}

b

\frac{3}{2} A H

szakaszokra teljesüljön a háromszög-egyenlőtlenség.

Megjegyzés. Sokan a III. megoldásbeli

A D B

háromszögből kapható

A D D' B

paralelogrammát rajzolták föl, és az

A D' D

háromszöget szerkesztették meg először.