Kezdőlap


Feladat:	B.3833	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Müller Márk
Füzet:	2007/február, 89 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Kör geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/szeptember: B.3833

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Olyan kört keresünk, amelynek $A$ és $B$ is pontja, így a kör középpontjának egyenlő távolságra kell lennie $A$ -tól és $B$ -től, azaz rajta kell lennie az $A B$ szakasz $f_{A B}$ felezőmerőleges egyenesén.

Mivel a

C

és a

D

pontból egyenlő hosszúságú érintőszakaszok húzhatók a körhöz, azért

C

-nek és

D

-nek is egyenlő távolságra kell lennie a kör középpontjától. Ezért az

O

pontnak rajta kell lennie a

C D

szakasz

f_{C D}

felezőmerőleges egyenesén is.
A kör középpontja tehát az

f_{A B}

és az

f_{C D}

egyenesek metszéspontja, sugara

O A

.
A megoldások száma elsősorban a két felező merőleges elhelyezkedésétől függ.
‐ Ha

f_{A B} ∥ f_{C D}

, akkor nincs megoldás.
‐ Ha

f_{A B}

és

f_{C D}

metszik egymást, akkor már csak az okozhat gondot, ha az egyetlen lehetséges kör a belsejében tartalmazza a

C

és

D

pontot. Ha tehát

C O \leq C A

, akkor nincs megoldás; ha pedig

C O > C A

, akkor pontosan egy megoldás van.
‐ Ha

A

B

C

és

D

nincsenek egy egyenesen, de egybeesik a két felező merőleges, akkor ennek az egyenesnek azok a pontjai lesznek jók, amelyek közelebb esnek

A

-hoz, mint

C

-hez. Ezen pontok mindegyike alkalmas lesz körközéppontnak, tehát ebben az esetben végtelen sok megoldás van.
‐ Ha

A

B

C

és

D

egy egyenesen vannak, az

A B

és a

C D

szakasz felezőpontja egybeesik, és

C D \leq A B

, ekkor nincs olyan pontja az egyenesnek, ami jó lenne. Ha viszont ebben az esetben

C D > A B

, ekkor a közös felező merőleges minden pontja jó.