Kezdőlap


Feladat:	4112. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Klenk Blanka
Füzet:	2009/április, 247 - 248. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Töltött részecskék mozgása elektromos és mágneses mezőkben
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/november: 4112. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Egy áramjárta vezető mágneses nyomatéka (dipólmomentuma) az $m = A \cdot I$ képletből számítható ki, ahol $I$ az áramerősség, $A$ pedig a (síkgörbének feltételezett) vezeték által körülhatárolt terület nagysága.
Homogén mágneses térben egy töltött részecske körpályán mozog. Ha a $Q$ töltésű részecske $t$ idő alatt tesz meg egy $r$ sugarú kört, akkor mozgása felfogható

\begin{matrix} I = \frac{Q}{t} \end{matrix}

áramerősségnek, s a részecske által körüljárt terület

A = r^{2} π

, a ,,köráram'' mágneses nyomatéka tehát

\begin{matrix} m = \frac{Q r^{2} π}{t} . \end{matrix}

A körpálya befutásához szükséges idő:

\begin{matrix} t = \frac{2 r π}{v}, \end{matrix}

ezzel a nyomaték:

\begin{matrix} m = Q r^{2} π \cdot \frac{v}{2 r π} = \frac{Q r v}{2} . \end{matrix}

A részecske pályasugara és sebessége között a Lorenzt-erő segítségével felírt mozgásegyenlet teremt kapcsolatot:

\begin{matrix} Q B v = M \frac{v^{2}}{r} \end{matrix}

(

M

a részecske tömege), ahonnan

\begin{matrix} r = \frac{M v}{Q B} . \end{matrix}

Ezt a mágneses nyomaték képletébe helyettesítve kapjuk:

\begin{matrix} m = \frac{Q r v}{2} = \frac{Q v}{2} \cdot \frac{M v}{Q B} = \frac{M v^{2}}{2 B} . \end{matrix}

Most már csak a részecske sebességének meghatározása van hátra. Ezt a gyorsítófeszültség ismeretében a munkatétel segítségével oldhatjuk meg:

\begin{matrix} Q U = \frac{1}{2} M v^{2}, \end{matrix}

amiből a keresett mágneses nyomaték nagyságára

\begin{matrix} m = \frac{Q U}{B} \end{matrix}

végeredmény adódik.

Megjegyzés. Az eredmény úgy is értelmezhető, hogy a részecske elektrosztatikus energiájának

Q U

csökkenése

m B

nagyságú ,,mágneses energiává'' alakult át.

(G. P.)