Kezdőlap


Feladat:	4108. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Lovas Lia Izabella , Túri Attila
Füzet:	2009/április, 242 - 244. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb merev test síkmozgások, Forgási energia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/november: 4108. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A jégkorong palánkra merőleges sebessége az ütközés előtt $v sin α$ volt, az ütközés után $- k v sin α$ lesz, a korong ilyen irányú impulzuskomponensének megváltozása tehát

\begin{matrix} Δ I = (k + 1) m v_{0} sin α . \end{matrix}

Ha az ütközés

Δ t

idő alatt megy végbe, akkor a palánk által kifejtett, a palánkra merőleges irányú átlagos nyomóerő

\begin{matrix} F_{ny} = \frac{Δ I}{Δ t} = \frac{(k + 1) m v_{0} sin α}{Δ t} . \end{matrix}

Tételezzük fel, hogy az ütközés alatt a korong pereme mindvégig csúszik a palánkon, tehát a palánk átlagosan

\begin{matrix} F_{s} = μ F_{ny} = \frac{μ (k + 1) m v_{0} sin α}{Δ t} \end{matrix}

nagyságú súrlódási erőt fejt ki a korongra. Ez az (érintő irányú) erő

\begin{matrix} M = R F_{s} = \frac{μ (k + 1) m v_{0} R sin α}{Δ t} \end{matrix}

forgatónyomatékot fejt ki a korongra, tehát

\begin{matrix} β = \frac{M}{Θ} = \frac{μ (k + 1) m v_{0} R sin α}{Θ Δ t} \end{matrix}

szöggyorsulást eredményez. Tekintve, hogy a ‐ feltehetően homogén ‐ korong tehetetlenségi nyomatéka

\begin{matrix} Θ = \frac{1}{2} m R^{2}, \end{matrix}

a szöggyorsulás átlagos értékét

\begin{matrix} β = \frac{2 μ (k + 1) v_{0} sin α}{R Δ t} \end{matrix}

alakban is felírhatjuk.
A korong szögsebessége a szöggyorsulás következtében az ütközés után

\begin{matrix} ω = β Δ t = \frac{2 μ (k + 1) v_{0} sin α}{R} \end{matrix}

lesz, a forgási energia keresett értéke pedig:

\begin{matrix} E_{forg.} = \frac{1}{2} Θ ω^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^{2} \cdot {(\frac{2 μ (k + 1) v_{0} sin α}{R})}^{2} = m μ^{2} v_{0}^{2} {(k + 1)}^{2} sin^{2} α . \end{matrix}

Ez a korong kezdeti mozgási energiájának

2 μ^{2} {(k + 1)}^{2} sin^{2} α

-szorosa.
Vizsgáljuk most azt a lehetőséget, hogy a korong esetleg az ütközési folyamat közben valamikor gördülni kezd a palánkon. Ehhez meg kell vizsgálnunk, hogyan változik a korong tömegközéppontjának palánkkal párhuzamos

u

sebességkomponense. Kezdetben ez az összetevő

\begin{matrix} u_{0} = v_{0} cos α, \end{matrix}

majd a súrlódási erő hatására

τ

idő alatt

\begin{matrix} u = v_{0} cos α - \frac{F_{s}}{m} τ \end{matrix}

értékre csökken. Ugyanekkor a szögsebesség, mint láttuk

\begin{matrix} ω = \frac{F_{s} R}{Θ} τ = \frac{2 F_{s} τ}{m R} . \end{matrix}

A fenti két képletből

F_{s} τ / m

kiküszöbölhető, s azt az érdekes eredményt kapjuk, hogy a korong palánkkal párhuzamos sebessége és a szögsebessége között minden pillanatban fenn kell álljon az

\begin{matrix} u = v_{0} cos α - \frac{1}{2} R ω \end{matrix}

összefüggés.
A korong akkor csúszik az ütközés során mindvégig a palánkon, ha még az ütközés végén is fennáll, hogy

u \geq R ω

. Ennek ‐ az előző megfontolás eredményét figyelembe véve ‐ az a feltétele, hogy

\begin{matrix} v_{0} cos α \geq \frac{3}{2} R ω, \end{matrix}

vagyis (

ω

kiszámított értékét behelyettesítve) teljesül, hogy

\begin{matrix} μ \leq μ_{0} = \frac{1}{3 (k + 1) tg α} . \end{matrix}

Amennyiben

μ > μ_{0}

, a ,,köszörülés'' már az ütközés közben befejeződik, majd a korong egy rövid ideig csúszásmentesen gördül a palánkon (miközben a palánkra merőleges sebességkomponense folyamatosan változik). Mivel a gördülés kezdetekor a korong szögsebessége

\begin{matrix} ω_{0} = \frac{2 v_{0} cos α}{3 R}, \end{matrix}

és ez az érték a továbbiakban sem változik, a korong forgási energiája az ütközés végén

\begin{matrix} E_{forg.} = \frac{1}{2} Θ ω_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^{2} \cdot {(\frac{2 v_{0} cos α}{3 R})}^{2} = \frac{1}{9} m v_{0}^{2} cos^{2} α . \end{matrix}