Kezdőlap


Feladat:	4097. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Maknics András
Füzet:	2009/április, 238 - 239. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Pontrendszerek mozgásegyenletei
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/október: 4097. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha az ék nagyon lapos, vagy nagyon meredek, a (vízszintes) gyorsulása igen kicsi lesz; biztosan kisebb, mint $g / 3$ . Várható tehát, hogy a feladatban feltett kérdésre az $α$ szög valamekkora minimális és maximális értéke közötti intervallum lesz a válasz.
Jelöljük az ékre, illetve a téglatestre ható erőket az ábrán látható módon, és írjuk fel mindkét test mozgásegyenletének vízszintes, illetve függőleges komponensét!

A koordinátarendszert az ábrának megfelelően irányítva a téglatest mozgásegyenletei:

\begin{matrix} - K_{1} sin α & = m a_{1 x}, & (1) \\ K_{1} cos α - m g & = m a_{1 y}, & (2) \end{matrix}

az ékre felírható egyenletek pedig

\begin{matrix} K_{1} sin α & = m a_{2 x}, & (3) \\ - m g - K_{1} cos α + K_{2} & = 0. & (4) \end{matrix}

(Kihasználtuk, hogy az ék függőleges gyorsulása:

a_{2 y} = 0

.) Ezek az egyenletek az asztalhoz rögzített koordináta-rendszerben (inerciarendszerben) érvényesek. Az ékhez képest a hasáb vízszintes irányban

a_{1 x} - a_{2 x}

, függőleges irányban

a_{1 y}

relatív gyorsulással mozog, s mivel mindvégig rajta marad az éken, fenn kell álljon, hogy

\begin{matrix} \frac{a_{1 y}}{a_{1 x} - a_{2 x}} = tg α . \end{matrix}

(5)

Az (1)‐(5) egyenletrendszer megoldásából az ék gyorsulására a hajlásszög függvényében

\begin{matrix} a_{2 x} = \frac{sin α \cdot cos α}{1 + sin^{2} α} g \end{matrix}

adódik. A feladatban feltett kérdésre tehát a

\begin{matrix} \frac{sin α \cdot cos α}{1 + sin^{2} α} \geq \frac{1}{3} \end{matrix}

(6)

egyenlőtlenség megoldása adja meg a választ.
Mivel (6) bal oldalának nevezője biztosan pozitív, szorozhatunk vele:

\begin{matrix} 3 sin α \cdot cos α \geq 1 + sin^{2} α, \end{matrix}

majd a

\begin{matrix} sin 2 α = 2 sin α \cdot cos α, cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α \end{matrix}

azonosságok felhasználásával a vizsgálandó feltételt

\begin{matrix} 3 sin 2 α + cos 2 α \geq 3 \end{matrix}

(7)

alakra hozhatjuk. Ha (7) bal oldalán

sin 2 α

és

cos 2 α

együtthatói olyan számok lennének, amelyek négyzetösszege 1, akkor alkalmazhatnánk a

\begin{matrix} cos δ \cdot sin 2 α + sin δ \cdot cos 2 α = sin (2 α + δ) \end{matrix}

azonosságot. Osszuk el ennek érdekében (7)-et

\sqrt[]{10}

-zel, és legyen

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{10}} = sin δ (cos δ = \frac{3}{\sqrt[]{10}}, δ = 18, 4^{\circ}) . \end{matrix}

Ekkor (7) így írható:

\begin{matrix} sin (2 α + δ) \geq \frac{3}{\sqrt[]{10}}, \end{matrix}

(8)

s mivel (8) jobb oldalán éppen

cos δ = sin (90^{\circ} - δ)

áll, a keresett szögtartományt a

\begin{matrix} sin (2 α + δ) \geq sin (90^{\circ} - δ) \end{matrix}

egyenlőtlenség határozza meg. Ennek megoldása:

\begin{matrix} 90^{\circ} - δ \geq 2 α + δ \geq 90^{\circ} + δ, azaz 45^{\circ} - δ = 26, 6^{\circ} \geq α \geq 45^{\circ} . \end{matrix}