Megoldás. Vegyük észre, hogy ha $a_n$ osztható 5-tel, akkor bármelyik rekurziós lépést is hajtjuk végre, $a_{n+1}$ is osztható lesz 5-tel; illetve ha $a_n$ nem osztható 5-tel, akkor $a_{n+1}$ sem lesz az. Mivel az 1 nem osztható 5-tel, csak 5-tel nem osztható kiindulási szám esetén lehet a sorozat tagja. Tegyük fel tehát, hogy $5\nmid k$.
Ha $a_n$ páros, akkor $a_{n+1}=\frac{a_n}{2}<a_n$, ha pedig páratlan, akkor $a_{n+2}=\frac{a_n+5}{2}<a_n$ teljesül, amennyiben $a_n>5$.
Mivel $k$ természetes szám, véges sok lépés után a sorozat egy olyan $a_m$ eleméhez jutunk, amelynek értéke legfeljebb 5. Mivel $k$ nem osztható 5-tel, azért $a_m$ sem, így elég az $a_m=\mathrm{1,2,3,4}$ esetet vizsgálni. Ha $a_m=1$, akkor készen vagyunk. Ha $a_m=2$, akkor $a_{m+1}=1$; ha $a_m=3$, akkor $a_{m+4}=1$; ha $a_m=4$, akkor $a_{m+2}=1$. Mindegyik vizsgált esetben szerepel a sorozat elemei között az 1.
Tehát, ha $k$ osztható 5-tel, akkor nem fordul elő az $\left(a_n\right)$ sorozat elemei között az 1, minden más esetben viszont igen.