Kezdőlap


Feladat:	B.4114	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2009/április, 225. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Téglalapok, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/október: B.4114

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a négyzetek oldalainak hossza $a$ . Rajzoljuk meg azokat az ábrán látható derékszögű háromszögeket, amelyek átfogója a négyzetek 1-1 oldala, befogóik pedig párhuzamosak a téglalap megfelelő oldalaival. Ezek a derékszögű háromszögek egybevágók, mert átfogójuk $a$ , megfelelő hegyesszögeik pedig páronként vagy váltó-, vagy egyállású, vagy merőleges szárú szögek.

Legyen ezen háromszögek rövidebbik befogójának hossza

x

, hosszabbik befogójának hossza

y

. Ekkor a téglalap oldalait ki tudjuk rakni

x

és

y

hosszú szakaszokból az ábrán látható módon. A téglalap oldalainak hosszát ismerve felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} 7 & = x + x + y + (y - x), \\ 11 & = x + y + x + y + y . \end{matrix}

Rendezve:

\begin{matrix} 7 & = x + 2 y, \\ 11 & = 2 x + 3 y . \end{matrix}

Az egyenletrendszer megoldása:

x = 1

és

y = 3

.
A Pitagorasz-tételt alkalmazva:

\begin{matrix} a^{2} = y^{2} + x^{2} = 3^{2} + 1^{2} = 10. \end{matrix}

Tehát a 4 db négyzet területe:

4 \cdot 10 = 40

.
Ezért a hulladék területe:

7 \cdot 11 - 40 = 37

.
Azaz a téglalap

\frac{37}{77}

-ed része, vagyis közelítőleg 48%-a hulladék.