Kezdőlap


Feladat:	B.4108	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Lovas Lia Izabella
Füzet:	2009/április, 222 - 223. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfelező egyenes, Magasságvonal, Középponti és kerületi szögek, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/szeptember: B.4108

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyenek a háromszög szögei $α$ , $β$ , $γ$ , az $A B C$ háromszög szögfelezőinek és a $P Q R$ háromszög oldalainak metszéspontjai pedig $D_{1}$ , $D_{2}$ , $D_{3}$ . A kerületi szögek tétele alapján:

\begin{matrix} C A P ∢ = \frac{α}{2} = P Q C ∢, \end{matrix}

mert a

P C

ívhez tartozó kerületi szögek;

\begin{matrix} A B Q ∢ = \frac{β}{2} = A C Q ∢, \end{matrix}

mert az

A Q

ívhez tartozó kerületi szögek;

\begin{matrix} A C R ∢ = \frac{γ}{2} . \end{matrix}

C Q D_{3}

háromszögben:

\begin{matrix} Q D_{3} C ∢ = 180^{\circ} - (P Q C ∢ + A C Q ∢ + A C R ∢) = 180^{\circ} - \frac{α + β + γ}{2} = 90^{\circ} . \end{matrix}

Tehát a

C R

szögfelező a

P Q R

háromszög

R

pontból induló magasságvonala.

Hasonlóan, a másik két szögfelező is magasságvonala a

P Q R

háromszögnek. Vagyis az

A B C

háromszög szögfelezői a

P Q R

háromszög magasságvonalai.
A szerkesztés menete: Megszerkesztjük a

P Q R

háromszög körülírt körét és a háromszög magasságvonalait. A magasságvonalaknak a körrel vett metszéspontjai megadják az

A B C

háromszög csúcsait.

Diszkusszió: A kerületi szögek tételének felhasználásával könnyen belátható, hogy a

P Q R

háromszög szögei:

\begin{matrix} \frac{β + γ}{2}, \frac{α + γ}{2}, \frac{α + β}{2}, \end{matrix}

és mindhárom szög kisebb, mint

\frac{α + β + γ}{2} = 90^{\circ}

, ami azt jelenti, hogy a

P Q R

háromszög biztosan hegyesszögű.
Tehát a szerkesztés csak akkor végezhető el, ha az adott

P

Q

R

pontok hegyesszögű háromszöget határoznak meg. Ilyenkor viszont mindig kapunk egy megoldást, mert minden magasságvonal metszi a kört egy, a

P

Q

R

pontoktól különböző pontban.

Megjegyzés. A diszkusszióban használt, a

P Q R

háromszög szögeit leíró észrevétel egyben egy másik szerkesztési eljárást is szolgáltat: a

\frac{β + γ}{2}

\frac{α + γ}{2}

\frac{α + β}{2}

szögek ismeretében egyszerűen megszerkeszthetők az

α

β

γ

szögek; pl.

\begin{matrix} α = \frac{α + β}{2} + \frac{α + γ}{2} - \frac{β + γ}{2} . \end{matrix}

Ezzel a

P Q R

háromszög köré írt körbe megszerkeszthető egy, az

A B C

háromszöggel egybevágó

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög, és az ehhez tartozó

P_{1} Q_{1} R_{1}

háromszög. Az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszöget a kör

O

középpontja körül a

P_{1} O P

szöggel elforgatva megkapjuk az

A B C

-t.