Kezdőlap


Feladat:	B.4107	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke Lilla
Füzet:	2009/április, 222. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/szeptember: B.4107

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az első egyenletet átrendezve kapjuk, hogy:

\begin{matrix} {(x^{2} - y^{2})}^{2} = 13 - x^{2} y^{2} . \end{matrix}

A második egyenletből pedig

x^{2} - y^{2} = 1 - 2 x y

. Ezt behelyettesítve a fenti egyenletbe:

{(1 - 2 x y)}^{2} = 13 - x^{2} y^{2}

. Ebből

\begin{matrix} 0 = 13 - x^{2} y^{2} - {(1 - 2 x y)}^{2} = - 5 {(x y)}^{2} + 4 x y + 12. \end{matrix}

x y

-ra nézve egy másodfokú egyenlet, melynek pozitív megoldása a 2. (Mivel

x

és

y

pozitív, a szorzatuk is az.) A kapott értéket az eredeti egyenletekbe helyettesítve, majd azokat rendezve kapjuk, hogy:

\begin{matrix} x^{4} + y^{4} = 17 és y^{2} = x^{2} + 3. \end{matrix}

Ez utóbbit az előbbibe írva:

\begin{matrix} x^{4} + {(x^{2} + 3)}^{2} = 17, amiből {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 4 = 0. \end{matrix}

Figyelembe véve, hogy

x^{2}

és

x

is pozitív, ebből

x^{2} = 1

és innen

x = 1

adódik. Felhasználva, hogy

x y = 2

és

y > 0

kapjuk, hogy

y = 2