Kezdőlap


Feladat:	B.4100	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Wang Daqian
Füzet:	2009/április, 220 - 221. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszögek geometriája, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/május: B.4100

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A szabályos sokszögek oldalegyenesei által meghatározott két-két félsík közül mindig pontosan az egyik tartalmazza a sokszöget. Ezért az oldalegyenesek közül semelyik három nem mehet át egy ponton. Ha ugyanis valamelyik három oldalegyenes egy ponton menne át, akkor közülük a középső által meghatározott mindkét félsíkban lenne pontja a sokszögnek, ami ellentmondás. Ha $n$ páratlan, akkor az oldalegyenesek közt nincsenek párhuzamosak, ha pedig $n$ páros, akkor a szemközti oldalegyenesek párhuzamosak.
A síkrészek számának meghatározásához helyezzük az oldalegyeneseket egymás után egyesével a síkra. Kezdetben 1 síkrész van, ami az első egyenes elhelyezése után 1-gyel nő. Amikor egy-egy új egyenest elhelyezünk, akkor a tartományok száma $(i + 1)$ -gyel nő, ahol $i$ azon, már korábban elhelyezett egyenesek száma, amelyeket az éppen elhelyezett egyenes metsz, mert az $i$ darab metszéspont az új egyenest $i + 1$ részre osztja, s minden ilyen rész egy-egy régi tartományt kettévág.

n

páratlan, akkor az

i

-edik egyenes elhelyezésénél a keletkező metszéspontok száma

i - 1

, tehát a tartományok száma pontosan

i

-vel nő, vagyis az összes egyenes elhelyezése után a tartományok száma

\begin{matrix} 1 + (1 + 2 + 3 + ... + n) = 1 + \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{n^{2} + n + 2}{2} . \end{matrix}

Páros

n

esetén más a helyzet. Legyen

n = 2 m

, és először helyezzük el valamilyen körüljárás szerint az első

m

oldalegyenest. Ezek közül semelyik kettő nem párhuzamos egymással, ezért az

i

-edik egyenesen

i - 1

metszéspont keletkezik, s így az elhelyezésük után létrejövő tartományok száma

1 + (1 + 2 + ... + m)

lesz. A további

m

darab egyenes elhelyezésekor minden új egyenes a korábban elhelyezettek közül pontosan eggyel lesz párhuzamos. Ezért az

(m + i)

-edik egyenesen csak

m + i - 2

metszéspont keletkezik. Ebben az esetben tehát az egyenesek összesen

\begin{matrix} 1 + (1 + 2 + ... + m) + (m + ... + 2 m - 1) = 1 + m \cdot 2 m = \frac{n^{2} + 2}{2} \end{matrix}

részre osztják a síkot.