Feladat: B.4082 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bodor Bertalan 
Füzet: 2009/április, 219. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Sokszög lefedések, Kör geometriája, Pont körüli forgatás, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/április: B.4082

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük ki az O középpontú egységsugarú körvonalon egy ABCD négyzet csúcsait, majd az AB és CD egyenesekkel vágjunk le a körlapból egy-egy szeletet. Az egységkörből így megmaradó K síkidom konvex, hiszen előáll három konvex halmaz ‐ a körlap és két félsík ‐ metszeteként. Ha K-t O körül 90∘-kal elforgatjuk, akkor az eredeti és az elforgatott példány a körlapot nyilván lefedi.

 
 

K-val viszont nem lehet egy egységsugarú félkört lefedni. Ugyanis a félkör lefedéséhez le kell fedni az átmérőjének a két végpontját is. Ennek a két pontnak a távolsága 2, ezért őket csak az eredeti körlap valamely átmérője fedheti le. Vagyis a lefedett F félkörnek is O lenne a középpontja. A K alakzat O-ra nézve szimmetrikus, ezért ha K lefedné F-et, akkor egyúttal lefedné F-nek O-ra vonatkozó F' tükörképét is. Viszont F∪F' a teljes körlap, amit K nyilván nem fed le.
A K síkidom tehát rendelkezik a kívánt tulajdonsággal.