Kezdőlap


Feladat:	B.4062	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Czeller Ildikó
Füzet:	2009/április, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körérintők, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Gráfok összefüggősége, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/február: B.4062

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az első kérdésre a válasz nem. Ezt legegyszerűbben indirekt úton bizonyíthatjuk be. Tegyük fel, hogy 13 kört elhelyeztünk a megfelelő módon. Készítsük el azt a 13 csúcsú gráfot, melynek csúcsai az egyes köröknek felelnek meg, két csúcs között pedig pontosan akkor megy él, ha a megfelelő körök érintik egymást. Ebben a gráfban feltevésünk szerint a fokszámok összege $13 \cdot 3 = 39$ , ami megegyezik az élek számának kétszeresével, azaz egy páros számmal. Ez az ellentmondás bizonyítja, hogy 13 kör nem helyezhető el a feltételeknek megfelelően.

1. ábra

A második kérdésre viszont igen a válasz. Ennek bizonyításához elegendő egy példát mutatnunk. Írjunk az

O

középpontú 1 sugarú körbe egy

H = A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7}

szabályos hétszöget. Legyen

φ = \frac{π}{7}

. Ekkor

H

oldalainak hossza

2 sin φ

, ezért a

H

csúcsai köré írt

r = sin φ

sugarú körök közül a szomszédos csúcsok köré írtak

H

oldalfelezőpontjaiban érintik egymást. Ezután

O

-ból középpontosan nagyítsuk

H

-t és a köröket

\frac{1 + sin φ}{1 - sin φ}

arányban. Így kapjuk a

H' = B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} B_{5} B_{6} B_{7}

hétszöget és másik hét olyan kört, mely a vele egyenlő sugarúak közül pontosan két másikat érint (az érintési pontok a

H'

hétszög oldalfelezőpontjai).
Megmutatjuk, hogy az

A_{i}

középpontú kör a

B_{i}

középpontú kört is érinti (

i = 1,2, ...,7

). A hétszög szabályossága miatt ezt nyilván elegendő

i = 1

esetén belátnunk. A középpontos nagyítás miatt

O B_{1} = \frac{1 + sin φ}{1 - sin φ}

, a

B_{1}

középpontú kör sugara pedig

\begin{matrix} r' = \frac{r (1 + sin φ)}{1 - sin φ} = \frac{sin φ (1 + sin φ)}{1 - sin φ} = \frac{2 sin φ}{1 - sin φ} - r . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} A_{1} B_{1} = O B_{1} - O A_{1} = \frac{1 + sin φ}{1 - sin φ} - 1 = \frac{2 sin φ}{1 - sin φ} = r' + r . \end{matrix}

Tehát a két kör középpontjának távolsága megegyezik sugaraik összegével, amiből következik, hogy a körök érintik egymást.
Ezért a

H

és

H'

hétszögek csúcsai köré írt 14 kör közül mindegyik pontosan három másikat érint.

Megjegyzés. A megoldás első felét 13 helyett tetszőleges páratlan számra elmondhatjuk, azaz páratlan számú kör nem helyezhető el a síkon úgy, hogy közülük mindegyik pontosan három másikat érintsen.
Megmutatjuk, hogy ha

n \geq 4

, páros szám, akkor viszont elhelyezhető a síkon

n

darab kör úgy, hogy közülük mindegyik pontosan három másikat érintsen.
Valamely 1 oldalú szabályos háromszög csúcsai köré rajzoljunk

1 / 2

sugarú köröket. Így három olyan kört kapunk, melyek páronként érintik egymást. A háromszög

O

középpontja köré alkalmas

(1 / \sqrt[]{3} - 1 / 2)

sugarú kört rajzolva négy olyan körhöz jutunk, melyek közül mindegyik érinti a három másikat (2. ábra). Ha ehelyett a három kört

O

-ból alkalmas arányban

(\frac{1 / \sqrt[]{3} - 1 / 2}{1 / \sqrt[]{3} + 1 / 2})

lekicsinyítjük, akkor hat körhöz jutunk, melyek közül mindegyik pontosan három másikat érint (3. ábra). Tehát

n = 4

és

n = 6

esetén létezik megfelelő körrendszer. Ha

n > 6

páros, akkor vagy

n = 4 k + 4

, vagy pedig

n = 4 k + 6

, ahol

k \geq 1

. Ezért

k

darab négy körből álló és egy darab négy vagy hat körből álló konfigurációt egymás mellé helyezve

n

darab megfelelő kört kapunk.

2. ábra

3. ábra